Прямая AD, перпендикулярная медиане BM треугольника ABC, делит угол BAC пополам. Найдите сторону AC, если сторона AB равна 3.

Пусть в треугольнике $ABC$ отрезок $BM$ — медиана, то есть $AM = MC$. Отрезок $AD$ является биссектрисой угла $BAC$ в треугольнике $ABM$ (так как $AD$ лежит внутри угла $BAC$ и, по условию, $AD$ делит угол $BAC$ пополам) и одновременно высотой к стороне $BM$ (так как $AD \perp BM$). 1. Рассмотрим треугольник $ABM$. В нем отрезок $AD$ является и биссектрисой, и высотой, проведенной из вершины $A$ к стороне $BM$. По признаку равнобедренного треугольника, если биссектриса является высотой, то треугольник равнобедренный. Значит, треугольник $ABM$ — равнобедренный с основанием $BM$ и боковыми сторонами $AB = AM$. 2. По условию $AB = 3$. Так как $AB = AM$, то $AM = 3$. 3. Так как $BM$ — медиана треугольника $ABC$, то точка $M$ делит сторону $AC$ пополам, то есть $AM = MC$. 4. Следовательно, $AC = AM + MC = 3 + 3 = 6$. Ответ: 6