Найдите объем многогранника, вершинами которого являются точки A, A1, B1, C1 правильной треугольной призмы ABCA1B1C1, площадь основания которой равна 8, а боковое ребро равно 3.

Пусть задана правильная треугольная призма $ABCA_1B_1C_1$. 1. Объем всей призмы вычисляется по формуле: $V_{призмы} = S_{осн} \cdot h$, где $S_{осн} = 8$ — площадь основания ($ABC$ или $A_1B_1C_1$), а $h$ — высота призмы, равная боковому ребру, т.е. $h = 3$. $V_{призмы} = 8 \cdot 3 = 24$. 2. Нам нужно найти объем многогранника с вершинами $A, A_1, B_1, C_1$. Это тетраэдр $AA_1B_1C_1$. 3. Мы можем вычислить его объем как разность объемов. Весь объем призмы можно представить как сумму объема тетраэдра $A_1ABC$ (пирамида с основанием $ABC$ и вершиной $A_1$) и оставшейся части, или, что проще, рассмотреть тетраэдр $A_1B_1C_1A$ как пирамиду, где основанием является треугольник $A_1B_1C_1$ (площадь которого равна $8$), а вершиной — точка $A$. Высота этой пирамиды, опущенная из точки $A$ на плоскость $A_1B_1C_1$, совпадает с высотой призмы $h = 3$. 4. Объем пирамиды (тетраэдра) равен $V = \frac{1}{3} \cdot S_{осн} \cdot h$. $V_{A_1B_1C_1A} = \frac{1}{3} \cdot 8 \cdot 3 = 8$. Ответ: 8