4.133. В треугольнике ABC биссектрисы AD и BE пересекаются в точке O. Найти отношение площади четырехугольника DOEC к площади треугольника ABC, если AC : AB : BC = 4 : 3 : 2.

Пусть $S$ — площадь треугольника $ABC$. Обозначим стороны треугольника через $x$: $AC = 4x$, $AB = 3x$, $BC = 2x$. Сумма длин сторон равна $4x + 3x + 2x = 9x$. 1. Площади треугольников, образованных инцентром $O$ и сторонами треугольника, относятся как длины этих сторон: $S_{AOB} = \frac{AB}{AC+AB+BC} S = \frac{3}{9} S = \frac{1}{3} S$ $S_{BOC} = \frac{BC}{AC+AB+BC} S = \frac{2}{9} S$ $S_{AOC} = \frac{AC}{AC+AB+BC} S = \frac{4}{9} S$ 2. Используем свойство биссектрисы: Биссектриса $BE$ делит сторону $AC$ на отрезки $AE$ и $EC$ в отношении сторон $AB:BC = 3:2$. Значит, $EC = \frac{2}{5} AC$. Биссектриса $AD$ делит сторону $BC$ на отрезки $BD$ и $DC$ в отношении сторон $AB:AC = 3:4$. Значит, $DC = \frac{4}{7} BC$. 3. Найдем площади треугольников, составляющих четырехугольник $DOEC$: $S_{COE} = \frac{EC}{AC} \cdot S_{AOC} = \frac{2}{5} \cdot \frac{4}{9} S = \frac{8}{45} S$ $S_{COD} = \frac{DC}{BC} \cdot S_{BOC} = \frac{4}{7} \cdot \frac{2}{9} S = \frac{8}{63} S$ 4. Искомая площадь четырехугольника $DOEC$: $S_{DOEC} = S_{COE} + S_{COD} = \frac{8}{45} S + \frac{8}{63} S = \left( \frac{8 \cdot 7}{315} + \frac{8 \cdot 5}{315} \right) S = \frac{56 + 40}{315} S = \frac{96}{315} S = \frac{32}{105} S$ Ответ: $\frac{32}{105}$