8 sin^2(7pi/12 + x) - 2sqrt(3) cos 2x = 5 [-7pi/2; -5pi/2]

Для решения уравнения $8 \sin^2 \left( \frac{7\pi}{12} + x \right) - 2\sqrt{3} \cos 2x = 5$ на отрезке $\left[ -\frac{7\pi}{2}; -\frac{5\pi}{2} \right]$ воспользуемся формулой понижения степени: $\sin^2 \alpha = \frac{1 - \cos 2\alpha}{2}$. 1. Применим формулу к $\sin^2 \left( \frac{7\pi}{12} + x \right)$: $8 \cdot \frac{1 - \cos \left( 2(\frac{7\pi}{12} + x) \right)}{2} - 2\sqrt{3} \cos 2x = 5$ $4(1 - \cos \left( \frac{7\pi}{6} + 2x \right)) - 2\sqrt{3} \cos 2x = 5$ $4 - 4 \cos \left( \frac{7\pi}{6} + 2x \right) - 2\sqrt{3} \cos 2x = 5$ 2. Используем формулу косинуса суммы $\cos(\alpha + \beta) = \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta$: $\cos \left( \frac{7\pi}{6} + 2x \right) = \cos \frac{7\pi}{6} \cos 2x - \sin \frac{7\pi}{6} \sin 2x = -\frac{\sqrt{3}}{2} \cos 2x - \left(-\frac{1}{2}\right) \sin 2x = -\frac{\sqrt{3}}{2} \cos 2x + \frac{1}{2} \sin 2x$ 3. Подставим обратно в уравнение: $4 - 4 \left( -\frac{\sqrt{3}}{2} \cos 2x + \frac{1}{2} \sin 2x \right) - 2\sqrt{3} \cos 2x = 5$ $4 + 2\sqrt{3} \cos 2x - 2 \sin 2x - 2\sqrt{3} \cos 2x = 5$ $4 - 2 \sin 2x = 5$ $-2 \sin 2x = 1$ $\sin 2x = -\frac{1}{2}$ 4. Найдем корни: $2x = (-1)^k \arcsin(-\frac{1}{2}) + \pi k$ $2x = -\frac{\pi}{6} + 2\pi k$ или $2x = -\frac{5\pi}{6} + 2\pi k$ $x = -\frac{\pi}{12} + \pi k$ или $x = -\frac{5\pi}{12} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$. 5. Отберем корни на отрезке $\left[ -3,5\pi; -2,5\pi \right]$: - Для $x = -\frac{\pi}{12} + \pi k$: При $k = -3: x = -\frac{\pi}{12} - 3\pi = -\frac{37\pi}{12} \approx -3,08\pi$ (подходит) - Для $x = -\frac{5\pi}{12} + \pi k$: При $k = -2: x = -\frac{5\pi}{12} - 2\pi = -\frac{29\pi}{12} \approx -2,41\pi$ (не подходит) При $k = -3: x = -\frac{5\pi}{12} - 3\pi = -\frac{41\pi}{12} \approx -3,41\pi$ (подходит) Ответ: $-\frac{41\pi}{12}; -\frac{37\pi}{12}$.