Найдите наибольшее значение функции y = ln(8x) - 8x + 7 на отрезке [1/16; 5/16].

Для нахождения наибольшего значения функции $y = \ln(8x) - 8x + 7$ на отрезке $[\frac{1}{16}; \frac{5}{16}]$, выполним следующие шаги: 1. Найдем производную функции: $y' = (\ln(8x) - 8x + 7)' = \frac{1}{8x} \cdot 8 - 8 = \frac{1}{x} - 8$ 2. Найдем критические точки, где $y' = 0$: $\frac{1}{x} - 8 = 0$ $\frac{1}{x} = 8$ $x = \frac{1}{8}$ 3. Проверим, принадлежит ли точка $x = \frac{1}{8}$ заданному отрезку $[\frac{1}{16}; \frac{5}{16}]$. Так как $\frac{1}{16} = 0,0625$, $\frac{1}{8} = 0,125$, $\frac{5}{16} = 0,3125$, то $0,0625 < 0,125 < 0,3125$, значит, точка принадлежит отрезку. 4. Вычислим значения функции в критической точке и на концах отрезка: - В точке $x = \frac{1}{8}$: $y(\frac{1}{8}) = \ln(8 \cdot \frac{1}{8}) - 8 \cdot \frac{1}{8} + 7 = \ln(1) - 1 + 7 = 0 - 1 + 7 = 6$ - В точке $x = \frac{1}{16}$: $y(\frac{1}{16}) = \ln(8 \cdot \frac{1}{16}) - 8 \cdot \frac{1}{16} + 7 = \ln(\frac{1}{2}) - 0,5 + 7 = \ln(2^{-1}) + 6,5 = -\ln(2) + 6,5 \approx -0,69 + 6,5 = 5,81$ - В точке $x = \frac{5}{16}$: $y(\frac{5}{16}) = \ln(8 \cdot \frac{5}{16}) - 8 \cdot \frac{5}{16} + 7 = \ln(2,5) - 2,5 + 7 = \ln(2,5) + 4,5 \approx 0,916 + 4,5 = 5,416$ 5. Сравним полученные значения: $6$; $6,5 - \ln(2)$; $4,5 + \ln(2,5)$. Наибольшим является $6$. **Ответ: 6**