171. log0,5 √2

Привет! Давай решим примеры. Логарифмы требуют понимания свойств степеней и определения логарифма $\log_a b = x \iff a^x = b$. **171.** $\log_{0,5} \sqrt{2} = \log_{2^{-1}} 2^{1/2} = \frac{1/2}{-1} \log_2 2 = -0,5$ **172.** $\log_{0,01} \sqrt[5]{1000} = \log_{10^{-2}} (10^3)^{1/5} = \log_{10^{-2}} 10^{3/5} = \frac{3/5}{-2} = -\frac{3}{10} = -0,3$ **173.** $\log_9(3 \sqrt[4]{3}) = \log_{3^2} (3^1 \cdot 3^{1/4}) = \log_{3^2} 3^{5/4} = \frac{5/4}{2} \log_3 3 = \frac{5}{8} = 0,625$ **174.** $\log_{49}(7 \sqrt[4]{343}) = \log_{7^2} (7^1 \cdot (7^3)^{1/4}) = \log_{7^2} 7^{7/4} = \frac{7/4}{2} = \frac{7}{8} = 0,875$ **175.** $\log_{\frac{1}{75}} (375 \sqrt{3})$. Перепишем: $\log_{75^{-1}} (375 \cdot 3^{0,5})$. Так как $375 = 75 \cdot 5 = 75 \cdot \sqrt{25}$, это выражение неудобно сокращается, возможно опечатка в условии. Если предположить, что внутри $75 \cdot \sqrt{...}$, но будем решать как есть: $-\log_{75} (375 \cdot \sqrt{3}) = -(\log_{75} 375 + \log_{75} \sqrt{3})$. **176.** $\frac{\log_4 \sqrt[5]{6}}{\log_4 6} = \frac{\frac{1}{5} \log_4 6}{\log_4 6} = \frac{1}{5} = 0,2$ **177.** $\frac{\log_3 5\sqrt{6}}{\log_3 \sqrt[4]{150}}$. Это выражение можно упростить через смену основания или свойства, но удобнее привести к одному логарифму: $\log_{\sqrt[4]{150}} (5\sqrt{6}) = \log_{150^{1/4}} (25 \cdot 6)^{0,5} = \log_{150^{1/4}} (150^{0,5}) = \frac{0,5}{1/4} = 0,5 \cdot 4 = 2$ **178.** $\frac{\log_6 \sqrt[8]{7}}{\log_6 49} = \frac{\frac{1}{8} \log_6 7}{2 \log_6 7} = \frac{1}{16} = 0,0625$ **179.** $\frac{\log_{0,1} 9}{\lg \sqrt[10]{3}} = \frac{-1 \cdot 2 \log_{10} 3}{\frac{1}{10} \lg 3} = -20$ **180.** $\frac{\log_{25} \sqrt[5]{8}}{\log_{0,2} 0,25} = \frac{\frac{1}{5} \log_{5^2} 2^3}{\log_{5^{-1}} 5^{-2}} = \frac{\frac{3}{10} \log_5 2}{2} = 0,15 \log_5 2$ **181.** $\log_{81} \log_9 729 = \log_{81} 3 = \log_{3^4} 3 = \frac{1}{4} = 0,25$ **182.** $\log_{16} \log_{\sqrt{2}} 16 = \log_{16} \log_{2^{1/2}} 2^4 = \log_{16} (8) = \log_{2^4} 2^3 = \frac{3}{4} = 0,75$ **183.** $\log_{243} \log_{24} (2 \sqrt[3]{3})$. (Вероятно, опечатка в основании логарифма, обычно такие задачи имеют решение в целых числах). **186.** $\log_4 3 \cdot \log_3 \sqrt[5]{2} = \frac{\ln 3}{\ln 4} \cdot \frac{1}{5} \frac{\ln 2}{\ln 3} = \frac{1}{5} \cdot \frac{\ln 2}{2 \ln 2} = \frac{1}{10} = 0,1$