173. В прямоугольном треугольнике ABC гипотенуза AB равна 16 см, угол A = 30°. Найдите катет BC.

Привет! Давай разберем эти задачи на свойства прямоугольного треугольника. Помним главное: катет, лежащий против угла 30°, равен половине гипотенузы, а сумма острых углов равна 90°. ### 173. Дано: $\triangle ABC$, $\angle C = 90^\circ$, гипотенуза $AB = 16$ см, $\angle A = 30^\circ$. Найти: $BC$. Решение: Катет $BC$ лежит против угла $A = 30^\circ$. Значит, $BC = \frac{1}{2} AB = \frac{1}{2} \cdot 16 = 8$ см. **Ответ: 8 см.** ### 174. Дано: $\triangle ABC$, $\angle C = 90^\circ$, $\angle B = 60^\circ$, катет $BC = 6$ см. Найти: гипотенузу $AB$. Решение: Так как $\angle B = 60^\circ$, то $\angle A = 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ$. Катет $BC$ лежит против угла $30^\circ$, следовательно, $BC = \frac{1}{2} AB$. Отсюда $AB = 2 \cdot BC = 2 \cdot 6 = 12$ см. **Ответ: 12 см.** ### 175. Дано: $\triangle ABC$, $\angle C = 90^\circ$, $AC = BC$ (равнобедренный), высота $h$ к гипотенузе $AB$ равна 18 см. Найти: гипотенузу $AB$. Решение: В прямоугольном равнобедренном треугольнике высота, проведенная к гипотенузе, является также медианой. Медиана, проведенная к гипотенузе, равна ее половине. Пусть гипотенуза $AB = c$, тогда высота $h = \frac{c}{2}$. $18 = \frac{c}{2} \Rightarrow c = 36$ см. **Ответ: 36 см.** ### 176. Дано: $\triangle ABC$, $\angle C = 90^\circ$, $\angle A = 30^\circ$, точка $E$ на $AC$, $\angle BEC = 60^\circ$, $EC = 8$ см. Найти: $AC$. Решение: 1. В $\triangle BEC$ (он прямоугольный, так как $\angle C = 90^\circ$): $\angle EBC = 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ$. Катет $EC$ лежит против угла $30^\circ$, поэтому гипотенуза $BE = 2 \cdot EC = 2 \cdot 8 = 16$ см. 2. В $\triangle ABC$: $\angle A = 30^\circ$. Так как $\triangle ABC$ прямоугольный, $BC$ лежит против угла $30^\circ$, значит $AB = 2 \cdot BC$. 3. $\angle BEC$ — внешний угол для $\triangle ABE$, значит $\angle ABE = \angle BEC - \angle A = 60^\circ - 30^\circ = 30^\circ$. 4. Значит, $\triangle ABE$ — равнобедренный с основанием $AE$, так как $\angle A = \angle ABE = 30^\circ$. Следовательно, $AE = BE = 16$ см. 5. $AC = AE + EC = 16 + 8 = 24$ см. **Ответ: 24 см.** ### 177. Дано: $\triangle ABC$, $\angle C = 90^\circ$, катет $a = 12$ см прилегает к углу $30^\circ$. Найти биссектрису второго острого угла (то есть угла, равного $60^\circ$). Решение: 1. Пусть катет $AC = 12$ см прилегает к углу $A = 30^\circ$. Тогда $\angle B = 60^\circ$. Нам нужно найти биссектрису угла $B$. 2. В $\triangle ABC$: $BC = AC \cdot \text{ctg}(30^\circ) = 12 \cdot \sqrt{3}$. Но проще: $BC = AC / \tan(60^\circ) = 12 / \sqrt{3} = 4\sqrt{3}$. 3. Гипотенуза $AB = AC / \cos(30^\circ) = 12 / (\sqrt{3}/2) = 24 / \sqrt{3} = 8\sqrt{3}$. 4. Биссектриса $BK$ угла $B$ делит его на углы по $30^\circ$. В прямоугольном $\triangle BCK$ ($\angle C = 90^\circ$): $BC$ — катет, прилежащий к углу $\angle CBK = 30^\circ$. 5. $BK = BC / \cos(30^\circ) = (4\sqrt{3}) / (\sqrt{3}/2) = 4 \cdot 2 = 8$ см. **Ответ: 8 см.**