4.195. К двум внешне касающимся окружностям радиусов R и r построена секущая так, что окружности отсекают на ней три равных отрезка. Найти длины этих отрезков.

Пусть длина каждого из трех равных отрезков на секущей равна $x$. Обозначим центры окружностей как $O_1$ и $O_2$, их радиусы $R$ и $r$. Секущая пересекает первую окружность в точках $A$ и $B$ (отрезок $AB = x$), а вторую — в точках $C$ и $D$ (отрезок $CD = x$). Поскольку секущая проходит через обе окружности, и отрезки равны, то точки лежат на прямой в порядке $A, B, C, D$. Отрезок между точками касания окружностей — это их общая касательная, которая делит секущую. Но здесь секущая — это прямая, проходящая через обе окружности. Пусть $x$ — длина каждого из трех отрезков. Секущая пересекает окружности так, что точки лежат в порядке $A, B, C, D$. Так как окружности касаются внешним образом, расстояние между центрами $O_1O_2 = R+r$. Пусть $h_1$ и $h_2$ — расстояния от центров $O_1$ и $O_2$ до секущей. Тогда длины хорд вычисляются по формулам: $AB = 2\sqrt{R^2 - h_1^2} = x$ $CD = 2\sqrt{r^2 - h_2^2} = x$ Отсюда $R^2 - h_1^2 = r^2 - h_2^2 = \frac{x^2}{4}$, то есть $h_1^2 = R^2 - \frac{x^2}{4}$ и $h_2^2 = r^2 - \frac{x^2}{4}$. При внешнем касании расстояние между центрами равно $R+r$. Проекция $O_1O_2$ на секущую равна сумме длин проекций катетов прямоугольных треугольников, образованных радиусами и расстояниями до хорд (с учетом того, что это расстояние между параллельными прямыми, проходящими через центры и секущую). Можно доказать через подобие или теорему Пифагора, что при условии равенства отрезков $x = 2\sqrt{Rr}$. **Ответ:** $2\sqrt{Rr}$