На ребре AA1 прямоугольного параллелепипеда ABCD A1B1C1D1 взята точка E так, что A1E:EA = 5:3. Точка T — середина ребра B1C1.

Для решения задачи введем систему координат с началом в точке $A_1(0,0,0)$. Пусть оси направлены так: $A_1A$ — ось $z$, $A_1B_1$ — ось $x$, $A_1D_1$ — ось $y$. Размеры: $A_1B_1 = AD = 7\sqrt{2}$, $A_1D_1 = AB = 5$, $AA_1 = 8$. Координаты точек: $A_1(0,0,0)$, $B_1(7\sqrt{2}, 0, 0)$, $D_1(0, 5, 0)$, $C_1(7\sqrt{2}, 5, 0)$. $T$ — середина $B_1C_1$, значит $T = (7\sqrt{2}, 2.5, 0)$. $E$ на $AA_1$, $A_1E:EA = 5:3$, $AA_1=8$. Длина $A_1E = 5$, $EA=3$. Точка $E(0,0,5)$. **а) Доказательство, что сечение — трапеция.** Построим сечение. В плоскости $A_1B_1C_1D_1$ проведем прямую через $T$ параллельно $D_1E$ (или найдем пересечение с плоскостями). Для построения сечения проведем через $T$ прямую, параллельную $D_1E$. Пусть она пересекает $B_1B$ в точке $K$. Тогда $ETKD_1$ — искомое сечение. Векторы: $\vec{D_1E} = (0, -5, 5)$. $\vec{D_1T} = (7\sqrt{2}, -2.5, 0)$. $\vec{ET} = (7\sqrt{2}, 2.5, -5)$. Векторы $\vec{D_1T}$ и $\vec{EK}$ должны быть коллинеарны. Поскольку $ETKD_1$ — сечение, стороны $ET$ и $D_1K$ лежат в одной плоскости и параллельны (по теореме о параллельных плоскостях). Значит, $ETKD_1$ — трапеция (или параллелограмм). **б) Угол между плоскостями.** Плоскость $A_1B_1C_1$ — это плоскость $xy$, её нормаль $\vec{n_1} = (0, 0, 1)$. Плоскость $ETD_1$ проходит через точки $E(0,0,5)$, $T(7\sqrt{2}, 2.5, 0)$, $D_1(0, 5, 0)$. Найдем уравнение плоскости $ETD_1$ по трем точкам. Векторы в плоскости: $\vec{D_1E} = (0, -5, 5)$ $\vec{D_1T} = (7\sqrt{2}, -2.5, 0)$ Нормальный вектор $\vec{n_2} = \vec{D_1E} \times \vec{D_1T} = \begin{vmatrix} i & j & k \\ 0 & -5 & 5 \\ 7\sqrt{2} & -2.5 & 0 \end{vmatrix} = i(0 - (-12.5)) - j(0 - 35\sqrt{2}) + k(0 - (-35\sqrt{2})) = (12.5, 35\sqrt{2}, 35\sqrt{2})$. Упростим, разделив на 2.5: $\vec{n_2} = (5, 14\sqrt{2}, 14\sqrt{2})$. Косинус угла $\alpha$ между плоскостями: $\cos \alpha = \frac{|\vec{n_1} \cdot \vec{n_2}|}{|\vec{n_1}| \cdot |\vec{n_2}|} = \frac{|0 \cdot 5 + 0 \cdot 14\sqrt{2} + 1 \cdot 14\sqrt{2}|}{1 \cdot \sqrt{5^2 + (14\sqrt{2})^2 + (14\sqrt{2})^2}} = \frac{14\sqrt{2}}{\sqrt{25 + 392 + 392}} = \frac{14\sqrt{2}}{\sqrt{809}}$. Ответ: $\arccos \frac{14\sqrt{2}}{\sqrt{809}}$.