4.182. Вершины четырехугольника ABCE принадлежат окружности с центром в точке O. сумма дуг AB и CE равна 180°. Диагонали AC и BE пересекаются в точке M. Вершины треугольника AME принадлежат окружности с центром в точке O1, O1M=8. Найти AE.

Пусть $\smile AB$ и $\smile CE$ — дуги окружности. По условию $\smile AB + \smile CE = 180^\circ$. 1. Рассмотрим вписанные углы $\angle AEB$ и $\angle EAC$. Угол $\angle AEB$ опирается на дугу $AB$, значит, $\angle AEB = \frac{1}{2} \smile AB$. Угол $\angle EAC$ опирается на дугу $EC$, значит, $\angle EAC = \frac{1}{2} \smile CE$. 2. В треугольнике $AME$ угол при вершине $M$ равен $\angle AME$. Это внешний угол треугольника $ABE$ (или можно рассмотреть сумму углов $\angle MAE + \angle MEA$). Сумма углов $\angle MAE + \angle MEA = \frac{1}{2}\smile CE + \frac{1}{2}\smile AB = \frac{1}{2}(\smile AB + \smile CE) = \frac{1}{2} \cdot 180^\circ = 90^\circ$. 3. Следовательно, в треугольнике $AME$ угол $\angle AME = 180^\circ - (\angle MAE + \angle MEA) = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$. Таким образом, треугольник $AME$ — прямоугольный. 4. Вершины треугольника $AME$ лежат на окружности с центром $O_1$. В прямоугольном треугольнике центр описанной окружности — это середина гипотенузы $AE$. Значит, $O_1$ лежит на $AE$, и $O_1A = O_1E = O_1M = R_1$ (радиус описанной окружности). 5. Мы знаем, что $O_1M$ — это радиус окружности, описанной около треугольника $AME$. Так как $O_1M = R_1 = 8$, а $AE$ — гипотенуза и диаметр этой окружности, то $AE = 2 \cdot R_1 = 2 \cdot 8 = 16$. **Ответ: 16.**