15) В треугольнике ABC угол С равен 90°, AC = 6, AB = 10. Найдите sin∠B.

15) В прямоугольном треугольнике синус угла равен отношению противолежащего катета к гипотенузе. В данном треугольнике ABC угол C = 90°, значит, гипотенуза AB, а противолежащий катет для угла B — это AC. $\sin B = \frac{AC}{AB} = \frac{6}{10} = 0,6$. Ответ: 0,6. 16) Радиус $r$ вписанной в равносторонний треугольник окружности находится по формуле $r = \frac{a\sqrt{3}}{6}$, где $a$ — сторона треугольника. Подставим $a = 20\sqrt{3}$: $r = \frac{20\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}}{6} = \frac{20 \cdot 3}{6} = \frac{60}{6} = 10$. Ответ: 10. 17) Периметр ромба равен 20, значит сторона $a = 20 : 4 = 5$. Площадь ромба через сторону и угол равна $S = a^2 \cdot \sin\alpha$. $S = 5^2 \cdot \sin 30^\circ = 25 \cdot 0,5 = 12,5$. Ответ: 12,5. 18) Средняя линия треугольника параллельна стороне AC и равна её половине. Сторона AC по рисунку занимает 4 клетки. Длина AC = 4. Средняя линия = 4 : 2 = 2. Ответ: 2. 19) 1) Верно. Площадь треугольника $S = 0,5 \cdot a \cdot b \cdot \sin\gamma$. Так как $\sin\gamma \le 1$ и $0,5 < 1$, то $0,5 \cdot a \cdot b \cdot \sin\gamma < a \cdot b$. 2) Неверно. Средняя линия трапеции равна полусумме оснований, а не сумме. 3) Верно. Это признак подобия треугольников по двум углам. Ответ: 13.