5) В прямоугольном треугольнике DEP (∠P = 90°) провели высоту PK. Найдите угол PDE, если PE = 6 см, KE = 3 см.

5) Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle DEP$ ($\angle P = 90^\circ$), в котором $PK$ — высота, проведенная к гипотенузе $DE$. По определению косинуса в прямоугольном треугольнике $\triangle PKE$ ($\angle K = 90^\circ$): $\cos \angle E = \frac{KE}{PE} = \frac{3}{6} = 0,5$. Следовательно, $\angle E = 60^\circ$. Так как сумма острых углов прямоугольного треугольника равна $90^\circ$, то: $\angle PDE = 90^\circ - \angle E = 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ$. **Ответ: 30^\circ.** 6) Пусть в прямоугольном треугольнике $ABC$ ($\angle C = 90^\circ$) угол $A = 30^\circ$, тогда $\angle B = 60^\circ$. Гипотенуза $c = AB = 12$. Высота $CH$ делит гипотенузу на отрезки $AH$ и $BH$. 1. В $\triangle ACH$ ($\angle H = 90^\circ$): $CH = AC \cdot \sin A$. $AC = AB \cdot \cos A = 12 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 6\sqrt{3}$. $AH = AC \cdot \cos A = 6\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 9$. 2. $BH = AB - AH = 12 - 9 = 3$. Или через $\triangle BCH$: $BH = BC \cdot \cos B = (AB \cdot \sin A) \cdot \cos 60^\circ = (12 \cdot 0,5) \cdot 0,5 = 6 \cdot 0,5 = 3$. **Ответ: 3 и 9.**