а) Решите уравнение $\sqrt{3} \cos 2x = 3 - 3(\sin x + \cos x)^2$.

### Решение: **а) Решим уравнение:** $\sqrt{3} \cos 2x = 3 - 3(\sin x + \cos x)^2$ 1. Раскроем квадрат суммы в правой части: $(\sin x + \cos x)^2 = \sin^2 x + 2\sin x \cos x + \cos^2 x$. Так как $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$, а $2\sin x \cos x = \sin 2x$, то $(\sin x + \cos x)^2 = 1 + \sin 2x$. 2. Подставим это в уравнение: $\sqrt{3} \cos 2x = 3 - 3(1 + \sin 2x)$ $\sqrt{3} \cos 2x = 3 - 3 - 3\sin 2x$ $\sqrt{3} \cos 2x = -3\sin 2x$ 3. Разделим обе части на $\cos 2x$ (учтя, что $\cos 2x \neq 0$, так как если $\cos 2x = 0$, то $\sin 2x = 0$, что невозможно, так как $\sin^2 2x + \cos^2 2x = 1$): $\sqrt{3} = -3\frac{\sin 2x}{\cos 2x}$ $\sqrt{3} = -3\operatorname{tg} 2x$ $\operatorname{tg} 2x = -\frac{\sqrt{3}}{3} = -\frac{1}{\sqrt{3}}$ 4. Найдем $2x$: $2x = -\frac{\pi}{6} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$ $x = -\frac{\pi}{12} + \frac{\pi k}{2}, k \in \mathbb{Z}$ **б) Отбор корней на промежутке $[-\pi, \frac{\pi}{2}]$:** Выпишем корни для разных $k$: - $k = -1: x = -\frac{\pi}{12} - \frac{6\pi}{12} = -\frac{7\pi}{12} \in [-\pi, \frac{\pi}{2}]$ - $k = 0: x = -\frac{\pi}{12} \in [-\pi, \frac{\pi}{2}]$ - $k = 1: x = -\frac{\pi}{12} + \frac{6\pi}{12} = \frac{5\pi}{12} \in [-\pi, \frac{\pi}{2}]$ - $k = -2: x = -\frac{\pi}{12} - \frac{12\pi}{12} = -\frac{13\pi}{12} \notin [-\pi, \frac{\pi}{2}]$ **Ответ:** а) $-\frac{\pi}{12} + \frac{\pi k}{2}, k \in \mathbb{Z}$; б) $-\frac{7\pi}{12}; -\frac{\pi}{12}; \frac{5\pi}{12}$