1. Докажите равенство треугольников ABF и CBD (рис. 42), если AB = BC и BF = BD.

Привет! Давай разберем эти задачи по геометрии. ### Задание 1 **Дано:** $\triangle ABF$ и $\triangle CBD$, $AB = BC$, $BF = BD$. **Доказать:** $\triangle ABF = \triangle CBD$. **Доказательство:** Рассмотрим треугольники $ABF$ и $CBD$. 1. $AB = BC$ (по условию). 2. $BF = BD$ (по условию). 3. $\angle ABF = \angle CBD$ (как вертикальные углы). Следовательно, $\triangle ABF = \triangle CBD$ по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними). ### Задание 2 **Дано:** равнобедренный треугольник, периметр $P = 33$ см, основание $a$ на 3 см меньше боковой стороны $b$ ($a = b - 3$). **Решение:** Пусть боковая сторона равна $x$ см, тогда основание равно $x - 3$ см. Периметр треугольника равен сумме всех сторон: $x + x + (x - 3) = 33$. $3x - 3 = 33$ $3x = 36$ $x = 12$. Значит, боковые стороны равны 12 см, а основание $12 - 3 = 9$ см. **Ответ:** 12 см, 12 см, 9 см. ### Задание 3 **Дано:** $\triangle ABC$ — равнобедренный ($AB = BC$), точки $D$ на $AB$, $E$ на $BC$ так, что $\angle ACD = \angle CAE$. **Доказать:** $AD = CE$. **Доказательство:** 1. Рассмотрим $\triangle ADC$ и $\triangle CEA$: - $\angle ACD = \angle CAE$ (по условию). - $AC$ — общая сторона. - $\angle CAD = \angle ACE$ (углы при основании равнобедренного $\triangle ABC$ равны). 2. Значит, $\triangle ADC = \triangle CEA$ по второму признаку (по стороне и двум прилежащим к ней углам). 3. Из равенства треугольников следует, что $AD = CE$. ### Задание 4 **Дано:** $EK = FK$, $EC = FC$. **Доказать:** $\angle EMK = \angle FMK$. **Доказательство:** 1. Рассмотрим $\triangle EKC$ и $\triangle FKC$: - $EK = FK$ (по условию). - $EC = FC$ (по условию). - $KC$ — общая сторона. Значит, $\triangle EKC = \triangle FKC$ (по третьему признаку). 2. Из равенства следует $\angle EKC = \angle FKC$. Тогда смежные с ними углы $\angle EKM = \angle FKM$ также равны. 3. Рассмотрим $\triangle EKM$ и $\triangle FKM$: - $EK = FK$ (по условию). - $KM$ — общая сторона. - $\angle EKM = \angle FKM$ (доказали выше). Значит, $\triangle EKM = \triangle FKM$ (по первому признаку). Отсюда следует $\angle EMK = \angle FMK$. ### Задание 5 - **Первый признак (по двум сторонам и углу между ними):** Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны. - **Третий признак (по трем сторонам):** Если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.