XXI. На полянке собрались божьи коровки. Если у божьей коровки на спине 6 точек, то она всегда говорит правду, а если 4 – то она всегда лжёт, а других божьих коровок на полянке не было.

Пусть $n$ — общее число божьих коровок. Каждая коровка имеет либо 6 точек (правдивая), либо 4 точки (лживая). 1. Первая коровка сказала: «У нас у каждой одинаковое количество точек». - Если первая сказала правду, то все коровки имеют по 6 точек. Тогда их сумма точек $6n$. Она сказала правду, значит, сама имеет 6 точек (верно). - Если первая солгала, то не у всех одинаковое количество (есть и 4-точечные, и 6-точечные). 2. Рассмотрим высказывание третьей: «Нет, у всех вместе 26 точек на спинах». - Допустим, третья сказала правду. Тогда у неё 6 точек. Всего 26 точек. Пусть $x$ — число 6-точечных, $y$ — число 4-точечных. $x+y=n$, $6x+4y=26$. Разделим на 2: $3x+2y=13$. Так как $y=n-x$, то $3x+2(n-x)=13$, значит $x+2n=13$. - Если $n=4$, то $x=5$ (невозможно, так как $x \le n$). - Если $n=5$, то $x=3$, $y=2$. Тогда всего коровок 5. Проверим утверждение первой: «У всех одинаково» — ложь (есть и 6, и 4). Первая коровка солгала, значит, она 4-точечная. Вторая сказала: «У всех вместе 30». Это ложь (сумма 26). Значит, вторая — 4-точечная. Третья сказала правду (6 точек). Остались две коровки. Четвертая и пятая сказали: «Из этих трех ровно одна сказала правду». В нашем наборе (первая-4, вторая-4, третья-6) только третья сказала правду (одна из трех). Значит, 4-я и 5-я сказали правду, они 6-точечные. Итого: 3 правдивых (6-точечные) и 2 лживых (4-точечные). Сумма точек: $3 \times 6 + 2 \times 4 = 18 + 8 = 26$. Все условия сходятся. Ответ: 5 божьих коровок.