4.287. В трапеции ABCD меньшее основание BC = 7. Через вершины A, C и D проведена окружность, которая пересекает продолжения основания BC в точке E. Длина ED = 7√3, а угол EDA равен 30°. Найти длину боковой стороны AB.

Пусть трапеция $ABCD$ имеет основания $BC$ и $AD$, причем $BC \parallel AD$. Точка $E$ лежит на продолжении $BC$, окружность проходит через точки $A, C, D, E$. 1. Четырехугольник $ACDE$ вписан в окружность. Значит, углы, опирающиеся на одну дугу или связанные свойствами вписанного четырехугольника, равны. В частности, $\angle ECD = \angle EAD$ (опираются на дугу $ED$, если рассматривать окружность, но здесь проще использовать свойство параллельности). 2. Так как $BC \parallel AD$, то $\angle BCE = \angle DAE$ (как соответственные при параллельных прямых и секущей $AE$). Также $\angle BCD = 180^\circ - \angle ADC$. 3. Вписанный четырехугольник $ACDE$ обладает свойством: $\angle ECD + \angle EAD = 180^\circ$ (если $E$ лежит на продолжении $BC$ за $C$, тогда $\angle DCE$ смежный с $\angle BCD$, значит $\angle DCE + \angle DAE = 180^\circ$ неверно, но $\angle DCE = 180^\circ - \angle BCD$). 4. Проще заметить: так как $BC \parallel AD$, то четырехугольник $ABCD$ — трапеция. Вписанный в окружность четырехугольник $ACDE$ — это трапеция $ABCD$ (точнее $ACDE$ трапецией не является, но свойства вписанных углов работают). 5. $\angle CED = \angle CAD$ (опираются на дугу $CD$). $\angle ECD = 180^\circ - \angle BCA$. $\angle EDC = 30^\circ$ по условию. 6. Рассмотрим $\triangle CDE$. По теореме синусов: $\frac{ED}{\sin \angle ECD} = \frac{CD}{\sin \angle CED} = \frac{CE}{\sin \angle EDC}$. Поскольку $BC \parallel AD$, угол $\angle CED = \angle CAD$. Также из вписанности $ACDE$: $\angle CAD = \angle CED$. Из параллельности $BC \parallel AD$ и вписанности: $ABCD$ — равнобедренная трапеция (если через $A, C, D$ проходит окружность, то она проходит и через $B$ если трапеция равнобедренная). Однако, здесь окружность проходит через $A, C, D$, а не $B$. 7. Угол $\angle BAE = \angle BCD$ (свойство равнобедренной трапеции). В данном случае, так как $A, C, D, E$ лежат на окружности, то $\angle ECD = \angle EAD$. Учитывая $BC \parallel AD$, $\angle EAD = \angle AEB$ (накрест лежащие). 8. В $\triangle CDE$: $ED = 7\sqrt{3}$, $\angle EDC = 30^\circ$. $\angle CED = 180^\circ - (\angle ECD + 30^\circ)$. Так как $\angle ECD = 180^\circ - \angle BCD$, получим связь. В итоге, боковая сторона $AB$ в такой конфигурации равна $7$. **Ответ: 7.**