Разложить в ряд Фурье функцию f(x) = {-1, -2 < x < 0; 2, 0 < x < 2}.

Для функции $f(x)$ с периодом $T = 2l$, где $l = 2$ (так как интервал от $-2$ до $2$), разложение в ряд Фурье имеет вид: $f(x) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} (a_n \cos \frac{n \pi x}{l} + b_n \sin \frac{n \pi x}{l})$ В нашем случае $l = 2$, значит: $f(x) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} (a_n \cos \frac{n \pi x}{2} + b_n \sin \frac{n \pi x}{2})$ 1. Находим $a_0$: $a_0 = \frac{1}{l} \int_{-l}^{l} f(x) dx = \frac{1}{2} (\int_{-2}^{0} (-1) dx + \int_{0}^{2} 2 dx) = \frac{1}{2} ([-x]_{-2}^{0} + [2x]_{0}^{2}) = \frac{1}{2} (-(0 - (-2)) + (4 - 0)) = \frac{1}{2} (-2 + 4) = 1$ 2. Находим $a_n$: $a_n = \frac{1}{l} \int_{-l}^{l} f(x) \cos \frac{n \pi x}{l} dx = \frac{1}{2} (\int_{-2}^{0} (-1) \cos \frac{n \pi x}{2} dx + \int_{0}^{2} 2 \cos \frac{n \pi x}{2} dx)$ $a_n = \frac{1}{2} ([-\frac{2}{n \pi} \sin \frac{n \pi x}{2}]_{-2}^{0} + [2 \cdot \frac{2}{n \pi} \sin \frac{n \pi x}{2}]_{0}^{2}) = \frac{1}{2} (0 + \frac{4}{n \pi} \cdot \sin(n \pi)) = 0$, так как $\sin(n \pi) = 0$ для любого целого $n$. 3. Находим $b_n$: $b_n = \frac{1}{l} \int_{-l}^{l} f(x) \sin \frac{n \pi x}{l} dx = \frac{1}{2} (\int_{-2}^{0} (-1) \sin \frac{n \pi x}{2} dx + \int_{0}^{2} 2 \sin \frac{n \pi x}{2} dx)$ $b_n = \frac{1}{2} ([\frac{2}{n \pi} \cos \frac{n \pi x}{2}]_{-2}^{0} + [-\frac{4}{n \pi} \cos \frac{n \pi x}{2}]_{0}^{2})$ $b_n = \frac{1}{2} [\frac{2}{n \pi} (\cos(0) - \cos(-n \pi)) - \frac{4}{n \pi} (\cos(n \pi) - \cos(0))]$ Так как $\cos(0) = 1$ и $\cos(n \pi) = (-1)^n$: $b_n = \frac{1}{2} [\frac{2}{n \pi} (1 - (-1)^n) - \frac{4}{n \pi} ((-1)^n - 1)] = \frac{1}{2} [\frac{2 - 2(-1)^n - 4(-1)^n + 4}{n \pi}] = \frac{6 - 6(-1)^n}{2 n \pi} = \frac{3(1 - (-1)^n)}{n \pi}$ Если $n$ четное, $b_n = 0$. Если $n$ нечетное, $b_n = \frac{6}{n \pi}$. Итоговое разложение: $f(x) = \frac{1}{2} + \sum_{k=1}^{\infty} \frac{6}{(2k-1) \pi} \sin \frac{(2k-1) \pi x}{2}$