Периметр параллелограмма 60 см. Одна из его сторон на 6 см меньше другой. Найдите длины сторон параллелограмма.

### 1. Периметр параллелограмма Пусть меньшая сторона параллелограмма равна $x$ см, тогда большая сторона равна $x + 6$ см. Периметр $P = 2 \cdot (a + b)$. $2 \cdot (x + x + 6) = 60$ $2x + 6 = 30$ $2x = 24$ $x = 12$ (см) — меньшая сторона. $12 + 6 = 18$ (см) — большая сторона. **Ответ: 12 см и 18 см.** ### 2. Угол между диагоналями прямоугольника Пусть диагонали пересекаются в точке $O$. В прямоугольнике $ABCD$ диагонали равны и точкой пересечения делятся пополам, поэтому треугольники $AOB$, $BOC$, $COD$, $DOA$ — равнобедренные ($AO=BO=CO=DO$). Пусть угол между диагоналями $\angle AOB = 80^\circ$ (этот угол лежит против меньшей стороны, так как он меньше, чем смежный с ним $180^\circ - 80^\circ = 100^\circ$). В равнобедренном треугольнике $AOB$ углы при основании $AB$ равны: $\angle OAB = \angle OBA = (180^\circ - 80^\circ) / 2 = 50^\circ$. **Ответ: 50°.** ### 3. Углы параллелограмма Пусть $ABCD$ — параллелограмм, $BD$ — диагональ, которая является высотой. Значит, $\angle ADB = 90^\circ$ и $BD \perp AD$. По условию, $BD = \frac{1}{2} AB$. В прямоугольном треугольнике $ABD$ катет $BD$ лежит против угла $\angle BAD = 30^\circ$ (так как катет в 2 раза меньше гипотенузы). Тогда $\angle ABD = 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ$. Углы параллелограмма: $\angle A = 30^\circ$, $\angle C = 30^\circ$ (противолежащие равны). $\angle B = 180^\circ - 30^\circ = 150^\circ$, $\angle D = 150^\circ$. **Ответ: 30°, 150°, 30°, 150°.** ### 4. Трапеция ABCD Пусть $AC$ — диагональ, $AC \perp CD$ и $AC$ — биссектриса $\angle A$. $\angle D = 60^\circ$. 1. В треугольнике $ACD$: $\angle ACD = 90^\circ$, $\angle D = 60^\circ$, значит $\angle CAD = 30^\circ$. 2. Так как $AC$ — биссектриса $\angle A$, то $\angle BAC = \angle CAD = 30^\circ$, значит весь $\angle A = 60^\circ$. 3. В трапеции $ABCD$ при $AD || BC$, сумма углов при боковой стороне $AB$ равна $180^\circ$, поэтому $\angle B = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$. 4. В треугольнике $ACD$ сторона $AC = CD \cdot \tan(60^\circ) = CD \cdot \sqrt{3}$. Также $\angle CAD = 30^\circ$ и $\angle ACD = 90^\circ$, значит $CD = \frac{1}{2} AD$ (катет против угла 30 градусов). 5. Поскольку $BC || AD$, и $\angle BAC = \angle CAD = 30^\circ$ (накрест лежащие), то треугольник $ABC$ — равнобедренный с основанием $AC$. Однако проще заметить, что $ABCD$ — равнобедренная трапеция, если доказать, что $AB = CD$. Из свойств биссектрисы в параллельных прямых следует, что $AB = BC$. 6. Пусть $AB = x$. Тогда $BC = x$, $CD = x$. В треугольнике $ACD$ $AD = 2CD = 2x$. 7. Периметр $P = AB + BC + CD + AD = x + x + x + 2x = 5x = 35$. $x = 7$. **Ответ: AB = 7 см.**