1. Записать уравнение касательной к кривой в заданной точке: y = 1 - 4*cube_root(x) , точка A(1;-7).

### 1. Уравнение касательной Допущение: Точка $A(1; -7)$ не принадлежит графику функции $y = 1 - 4\sqrt[3]{x}$, так как при $x=1$, $y = -3$. Решим задачу для точки с абсциссой $x_0 = 1$. - Найдем производную функции: $y' = (1 - 4x^{1/3})' = -4 \cdot \frac{1}{3}x^{-2/3} = -\frac{4}{3\sqrt[3]{x^2}}$. - Значение производной в точке $x_0 = 1$: $f'(1) = -\frac{4}{3}$. - Уравнение касательной: $y - y_0 = f'(x_0)(x - x_0)$. - $y - (-3) = -\frac{4}{3}(x - 1) \Rightarrow y + 3 = -\frac{4}{3}x + \frac{4}{3} \Rightarrow y = -\frac{4}{3}x - \frac{5}{3}$. **Ответ:** $y = -\frac{4}{3}x - \frac{5}{3}$. ### 2. Угол между медианой AD и стороной AB - Точки: $A(-1; 0)$, $B(0; 5)$, $C(4; -3)$. - Найдем координаты точки $D$ (середина $BC$): $D = (\frac{0+4}{2}; \frac{5-3}{2}) = (2; 1)$. - Вектор $\vec{AB} = (0 - (-1); 5 - 0) = (1; 5)$. - Вектор $\vec{AD} = (2 - (-1); 1 - 0) = (3; 1)$. - Косинус угла $\varphi$ между векторами: $\cos \varphi = \frac{\vec{AB} \cdot \vec{AD}}{|\vec{AB}| \cdot |\vec{AD}|} = \frac{1 \cdot 3 + 5 \cdot 1}{\sqrt{1^2+5^2} \cdot \sqrt{3^2+1^2}} = \frac{8}{\sqrt{26} \cdot \sqrt{10}} = \frac{8}{\sqrt{260}} = \frac{4}{\sqrt{65}}$. - Угол $\varphi = \arccos\left(\frac{4}{\sqrt{65}}\right)$. **Ответ:** $\arccos\left(\frac{4}{\sqrt{65}}\right)$. ### 3. Производная функции a) $y = \frac{e^x + 1}{e^x - 1}$ $y' = \frac{(e^x)'(e^x - 1) - (e^x)(e^x - 1)'}{(e^x - 1)^2} = \frac{e^x(e^x - 1) - e^x(e^x)}{(e^x - 1)^2} = \frac{e^{2x} - e^x - e^{2x}}{(e^x - 1)^2} = -\frac{e^x}{(e^x - 1)^2}$. $y'(-1) = -\frac{e^{-1}}{(e^{-1} - 1)^2} = -\frac{1/e}{(1/e - 1)^2} = -\frac{e}{(1 - e)^2}$. б) $y = \ln\sqrt{x} = \frac{1}{2}\ln x$. $y' = \frac{1}{2x}$. ### 4. Неопределенный интеграл a) $\int \frac{t^2}{\sqrt[5]{5 - 2t^3}} dt$ Пусть $u = 5 - 2t^3$, $du = -6t^2 dt \Rightarrow t^2 dt = -\frac{1}{6} du$. $\int u^{-1/5} \cdot (-\frac{1}{6}) du = -\frac{1}{6} \cdot \frac{5}{4} u^{4/5} + C = -\frac{5}{24} (5 - 2t^3)^{4/5} + C$. б) $\int \sqrt[4]{(2 - \sin x)^3} \cos x dx$ Пусть $u = 2 - \sin x$, $du = -\cos x dx \Rightarrow \cos x dx = -du$. $-\int u^{3/4} du = -\frac{4}{7} u^{7/4} + C = -\frac{4}{7} (2 - \sin x)^{7/4} + C$. ### 5. Площадь криволинейной трапеции $y^2 = 4x \Rightarrow y = \pm 2\sqrt{x}$. Площадь между ветвями на отрезке $[1; 9]$: $S = \int_1^9 (2\sqrt{x} - (-2\sqrt{x})) dx = \int_1^9 4\sqrt{x} dx = 4 \cdot [\frac{x^{3/2}}{3/2}]_1^9 = \frac{8}{3} [x\sqrt{x}]_1^9 = \frac{8}{3} (9\sqrt{9} - 1\sqrt{1}) = \frac{8}{3} (27 - 1) = \frac{8 \cdot 26}{3} = \frac{208}{3} = 69\frac{1}{3}$. **Ответ:** $69\frac{1}{3}$ (или $\approx 69,33$).