Билет 13. 1. Определение расстояния от точки до прямой. Наклонная. Определение расстояния между параллельными прямыми.

### Билет 13 **1. Определения:** * **Расстояние от точки до прямой** — это длина перпендикуляра, опущенного из данной точки на прямую. * **Наклонная** — это отрезок, проведенный из точки к прямой, который не является перпендикуляром к ней. * **Расстояние между параллельными прямыми** — это длина любого перпендикуляра, опущенного из точки одной прямой на другую. **2. Неравенство треугольника:** Теорема гласит: каждая сторона треугольника меньше суммы двух других его сторон. Например, для треугольника со сторонами $a, b, c$: $a < b + c$. Это следует из того, что кратчайшее расстояние между двумя точками — прямая линия. **3. Задача:** В окружности с центром $O$ проведены параллельные хорды $AD$ и $BC$. Фигура $ABCD$ — равнобедренная трапеция, вписанная в окружность. У равнобедренной трапеции боковые стороны равны, следовательно, $BC = AD = 4$ см. **4. Задача:** Если у треугольника равны два внешних угла при разных вершинах, то равны и смежные с ними внутренние углы. Треугольник является равнобедренным. Пусть стороны $a, a$ и $b$ (основание). Периметр $P = 2a + b = 78$. * Если $b = 18$, то $2a = 78 - 18 = 60$, $a = 30$. Стороны: 18, 30, 30 (условие неравенства треугольника $18+30 > 30$ выполняется). * Если $a = 18$, то $2 imes 18 + b = 78$, $36 + b = 78$, $b = 42$. Но $18 + 18 = 36 < 42$, что невозможно (неравенство треугольника не выполняется). **Ответ:** 18 см, 30 см, 30 см. *** ### Билет 14 **1. Признаки равенства прямоугольных треугольников:** * По двум катетам. * По катету и прилежащему острому углу. * По гипотенузе и острому углу. * По гипотенузе и катету. **2. Свойство внешнего угла:** Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним. **3. Задача:** Радиус $R = 7$ см. $OA = OB = 7$. Периметр $\triangle AOB = OA + OB + AB = 7 + 7 + AB = 14 + AB = 20$. $AB = 20 - 14 = 6$ см. Исходя из симметрии вписанной фигуры, $BC = AB = 6$ см. **4. Доказательство:** Сумма внутренних односторонних углов при параллельных прямых равна $180^\circ$. Пусть углы равны $\alpha$ и $\beta$, тогда $\alpha + \beta = 180^\circ$. Биссектрисы делят их на $\frac{\alpha}{2}$ и $\frac{\beta}{2}$. Рассмотрим треугольник, образованный биссектрисами и секущей. Третий угол этого треугольника равен: $180^\circ - (\frac{\alpha}{2} + \frac{\beta}{2}) = 180^\circ - \frac{\alpha + \beta}{2} = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$. Значит, биссектрисы перпендикулярны.