Решите неравенство $(3 - x)(x^2 + 4x - 21) \geqslant 0$

Для решения неравенства $(3-x)(x^2+4x-21) \geqslant 0$ методом интервалов, сначала найдём корни каждой скобки. 1. Найдём корень первой скобки: $3 - x = 0 \Rightarrow x_1 = 3$ 2. Найдём корни квадратного трёхчлена $x^2 + 4x - 21 = 0$ через дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-21) = 16 + 84 = 100$ $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-4 \pm 10}{2}$ $x_2 = \frac{-4 + 10}{2} = 3$ $x_3 = \frac{-4 - 10}{2} = -7$ 3. Разложим неравенство на множители, учитывая, что корень $x = 3$ повторяется дважды: $(3 - x)(x - 3)(x + 7) \geqslant 0$ Вынесем минус из первой скобки: $-(x - 3)(x - 3)(x + 7) \geqslant 0 \Rightarrow -(x - 3)^2(x + 7) \geqslant 0$ Разделим на $-1$, поменяв знак неравенства: $(x - 3)^2(x + 7) \leqslant 0$ 4. Анализируем полученное выражение: - Выражение $(x - 3)^2$ всегда $\geqslant 0$. Значит, оно влияет на знак только в точке $x = 3$ (где оно равно нулю). - Чтобы произведение было $\leqslant 0$, множитель $(x + 7)$ должен быть $\leqslant 0$, либо всё выражение должно равняться нулю. $x + 7 \leqslant 0 \Rightarrow x \leqslant -7$ Также проверим точку $x = 3$: при $x = 3$ левая часть равна $0$, что удовлетворяет условию $\leqslant 0$. **Ответ: $x \in (-\infty; -7] \cup \{3\}$**