Сторона основания правильной треугольной призмы ABCA1B1C1 равна 2, а высота этой призмы равна 4\sqrt{3}. Найдите объем призмы ABCA1B1C1.

### Решение задачи 6 Объем призмы равен произведению площади основания на высоту: $V = S_{осн} \cdot h$. Основание — правильный треугольник со стороной $a = 2$. Его площадь: $S_{осн} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4} = \frac{2^2\sqrt{3}}{4} = \sqrt{3}$. Высота $h = 4\sqrt{3}$. Тогда $V = \sqrt{3} \cdot 4\sqrt{3} = 4 \cdot 3 = 12$. **Ответ: 12** ### Решение задачи 7 Объем цилиндра вычисляется по формуле $V = \pi r^2 h$. Для первого цилиндра ($r_1=2, h_1=6$): $V_1 = \pi \cdot 2^2 \cdot 6 = 24\pi$. Для второго цилиндра ($r_2=6, h_2=4$): $V_2 = \pi \cdot 6^2 \cdot 4 = 144\pi$. Отношение объемов: $\frac{V_2}{V_1} = \frac{144\pi}{24\pi} = 6$. **Ответ: 6** ### Решение задачи 8 У правильной треугольной призмы 6 вершин. При отпиливании каждой вершины на месте старой вершины образуется треугольная грань с тремя новыми вершинами. Таким образом, каждая из 6 старых вершин дает 3 новые вершины: $6 \cdot 3 = 18$. **Ответ: 18** ### Решение задачи 9 Сечение цилиндра плоскостью, параллельной оси, представляет собой прямоугольник. Одна сторона прямоугольника равна образующей цилиндра: $H = 14$. Другая сторона — это хорда основания. Рассмотрим основание (круг радиусом $R=15$). Расстояние от центра до хорды $d=12$. Половина хорды $a$ вычисляется из прямоугольного треугольника: $a = \sqrt{R^2 - d^2} = \sqrt{15^2 - 12^2} = \sqrt{225 - 144} = \sqrt{81} = 9$. Длина всей хорды (вторая сторона сечения): $2a = 2 \cdot 9 = 18$. Площадь сечения: $S = 18 \cdot 14 = 252$. **Ответ: 252**