Резервуар наполняется водой двумя трубами за 4 ч. Первая труба может наполнить резервуар на 6 ч быстрее, чем вторая. За сколько часов первая труба может наполнить резервуар?

Пусть $x$ ч — время, за которое первая труба наполняет резервуар. Тогда вторая труба наполняет его за $(x + 6)$ ч. Производительность первой трубы равна $\frac{1}{x}$ резервуара в час, второй — $\frac{1}{x+6}$ резервуара в час. Работая вместе, они наполняют резервуар за 4 ч, значит, их общая производительность составляет $\frac{1}{4}$ резервуара в час. Составим уравнение: $$\frac{1}{x} + \frac{1}{x+6} = \frac{1}{4}$$ Умножим обе части уравнения на $4x(x+6)$, чтобы избавиться от знаменателей ($x \neq 0, x \neq -6$): $$4(x+6) + 4x = x(x+6)$$ $$4x + 24 + 4x = x^2 + 6x$$ $$8x + 24 = x^2 + 6x$$ $$x^2 - 2x - 24 = 0$$ Решим квадратное уравнение: Дискриминант $D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-24) = 4 + 96 = 100 = 10^2$. Корни уравнения: $$x_1 = \frac{2 + 10}{2} = 6$$ $$x_2 = \frac{2 - 10}{2} = -4$ (не подходит, так как время не может быть отрицательным). Значит, первая труба наполняет резервуар за 6 часов. Ответ: 6