Хозяин выбрал дровяную печь (рис. 1). Чертёж передней панели печи показан на рисунке 2. Печь снабжена кожухом вокруг дверцы топки. Верхняя часть кожуха выполнена в виде арки, приваренной к передней стенке печки по дуге окружности с центром в середине нижней части кожуха (см. рис. 2). Для установки печки хозяину понадобилось узнать радиус закругления арки R. Размеры кожуха в сантиметрах показаны на рисунке 2. Найдите радиус закругления арки в сантиметрах.

Для решения задачи воспользуемся геометрической моделью, представленной на рисунке 2. Пусть центр дуги окружности находится в середине нижней стороны прямоугольника. Обозначим эту точку $O$. 1. Ширина прямоугольника равна 56 см, значит, расстояние от центра $O$ до боковых сторон равно $56 / 2 = 28$ см. 2. Высшая точка дуги находится на высоте 45 см от основания. Пусть эта точка будет $A$. Радиус $R$ — это расстояние от центра $O$ до любой точки на дуге. 3. Рассмотрим точку на дуге, где она переходит в прямую вертикальную часть. Координаты центра $O$ примем за $(0, 0)$. Тогда точка $A$ имеет координаты $(0, 45)$, а точка перехода $(28, h)$, где $h$ — высота вертикальной части. 4. Однако проще рассмотреть треугольник, образованный радиусом $R$. Пусть точка на дуге имеет координаты $(x, y)$. У нас есть точка на дуге $(28, y)$ (где $y$ — высота вертикальной стенки до начала дуги). Но по условию нам дана общая высота 45 см. Это значит, что радиус дуги $R = 45$ см? Нет, это не совсем так, если арка — это часть круга. 5. В подобных задачах ОГЭ (из которых взято это задание) арка описывается дугой окружности, проходящей через верхнюю точку $(0, 45)$ и углы $(28, y)$. Но чаще всего, если арка вписана так, что её центр в середине основания, то радиус $R$ — это расстояние от центра до любой точки дуги. У нас есть точка на оси симметрии $(0, 45)$, значит расстояние $R = 45$. Проверим: если $R=45$, то расстояние от $(0,0)$ до $(28, y)$ тоже равно 45. $R^2 = x^2 + y^2 Arr 45^2 = 28^2 + y^2 Arr 2025 = 784 + y^2 Arr y^2 = 1241 Arr y eq ext{целое число}$. 6. Вероятно, в данной задаче подразумевается, что высота всей конструкции равна радиусу. Если высота арки 45 см, а ширина 56 см, то формула радиуса окружности, проходящей через эти точки, следующая: $R = \frac{a^2}{8h} + \frac{h}{2}$, где $a = 56$ (хорда), $h = 45$ (высота сегмента). $R = \frac{56^2}{8 \cdot 45} + \frac{45}{2} = \frac{3136}{360} + 22.5 = 8.71 + 22.5 = 31.21$ (не очень красиво). 7. Внимательно перечитаем условие: "центром в середине нижней части кожуха". Это значит $R$ — расстояние от центра до любой точки дуги. Высшая точка дуги находится на расстоянии 45 см от центра (так как она лежит на той же вертикальной линии). Значит, $R = 45$ см. **Ответ: 45**