БИЛЕТ №24 Блок А 1. Вычислите: 5 cos пи/4 * 2 ctg пи/4 * sin пи/4

Привет! Давай разберем задания из твоего билета. **Блок А** 1. Вычислите: $5 \cos \frac{\pi}{4} \cdot 2 \operatorname{ctg} \frac{\pi}{4} \cdot \sin \frac{\pi}{4} = 5 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot 2 \cdot 1 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 5 \cdot 2 \cdot \frac{2}{4} = 5$. 2. Упростите: $\frac{25^{0,4} \cdot 5^{0,2}}{125^{0,3}} = \frac{(5^2)^{0,4} \cdot 5^{0,2}}{(5^3)^{0,3}} = \frac{5^{0,8} \cdot 5^{0,2}}{5^{0,9}} = \frac{5^1}{5^{0,9}} = 5^{0,1} = \sqrt[10]{5}$. 3. Вычислите: $\log_2 48 - \log_2 6 = \log_2(\frac{48}{6}) = \log_2 8 = 3$. 4. Вычислите: $\frac{\sqrt[3]{41} \cdot \sqrt[6]{41}}{\sqrt[2]{41} \cdot \sqrt[9]{41}} = \frac{41^{1/3+1/6}}{41^{1/2+1/9}} = \frac{41^{1/2}}{41^{11/18}} = 41^{1/2 - 11/18} = 41^{9/18 - 11/18} = 41^{-2/18} = 41^{-1/9} = \frac{1}{\sqrt[9]{41}}$. 5. Решите: $2^{x+3} = 4^{x-1} \Rightarrow 2^{x+3} = 2^{2(x-1)} \Rightarrow x+3 = 2x-2 \Rightarrow x = 5$. 7. Решите: $2 \sin x - 1 = 0 \Rightarrow \sin x = 0,5 \Rightarrow x = (-1)^n \frac{\pi}{6} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$. 8. Решите: $(\frac{1}{2})^{3x+1} > (\frac{1}{2})^{5-2x}$. Так как основание $0 < 0,5 < 1$, знак меняем: $3x+1 < 5-2x \Rightarrow 5x < 4 \Rightarrow x < 0,8$. **Блок Б** 1. Решите: $\cos(4x - \frac{\pi}{6}) = -1 \Rightarrow 4x - \frac{\pi}{6} = \pi + 2\pi n \Rightarrow 4x = \frac{7\pi}{6} + 2\pi n \Rightarrow x = \frac{7\pi}{24} + \frac{\pi n}{2}, n \in \mathbb{Z}$. 2. Решите: $5^{x+2} - 26 \cdot 5^{x+1} + 25 = 0$. Пусть $5^x = t$ ($t>0$): $25t - 26 \cdot 5t + 25 = 0$ (ошибка в условии? вероятно $25 \cdot 5^x - 130 \cdot 5^x + 25 = 0$). Если переписать $25 \cdot 5^x - 130 \cdot 5^x + 25 = 0$: $25t^2 - 130t + 25 = 0 \Rightarrow t^2 - 5,2t + 1 = 0$. Дискриминант: $27,04 - 4 = 23,04 = 4,8^2$. $t_1 = (5,2+4,8)/2 = 5 \Rightarrow 5^x = 5^1 \Rightarrow x = 1$. $t_2 = (5,2-4,8)/2 = 0,2 \Rightarrow 5^x = 5^{-1} \Rightarrow x = -1$. 3. Решите: $\sin 5x \cos 2x - \cos 5x \sin 2x = 0,5 \Rightarrow \sin(5x-2x) = 0,5 \Rightarrow \sin 3x = 0,5$. $3x = (-1)^k \frac{\pi}{6} + \pi k \Rightarrow x = (-1)^k \frac{\pi}{18} + \frac{\pi k}{3}, k \in \mathbb{Z}$.