Вычислите производную функции y = 5x^4 - 4x^3 - 36x^2 + 3.

Решим задачи по очереди: **7. Вычислите производную функции $y = 5x^4 - 4x^3 - 36x^2 + 3$.** Для нахождения производной используем правило дифференцирования степенной функции $(x^n)' = n \cdot x^{n-1}$ и правило дифференцирования константы $(C)' = 0$: $y' = (5x^4)' - (4x^3)' - (36x^2)' + (3)'$ $y' = 5 \cdot 4x^3 - 4 \cdot 3x^2 - 36 \cdot 2x + 0$ $y' = 20x^3 - 12x^2 - 72x$ **8. Три ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, равны 4, 8, 9. Найдите площадь полной поверхности прямоугольного параллелепипеда.** Площадь полной поверхности $S$ прямоугольного параллелепипеда вычисляется по формуле: $S = 2(ab + bc + ac)$, где $a=4, b=8, c=9$. $S = 2(4 \cdot 8 + 8 \cdot 9 + 4 \cdot 9)$ $S = 2(32 + 72 + 36)$ $S = 2 \cdot 140 = 280$ **9. Длина окружности основания конуса равна 2, образующая равна 5. Найдите площадь боковой поверхности конуса.** Формула боковой поверхности конуса: $S_{бок} = \pi r l$. Длина окружности основания $C = 2 \pi r = 2$. Отсюда $r = \frac{1}{\pi}$. $S_{бок} = \pi \cdot \frac{1}{\pi} \cdot 5 = 1 \cdot 5 = 5$. **10. В основании прямой призмы лежит квадрат со стороной 2. Боковые ребра равны 2/π. Найдите объем цилиндра, описанного около этой призмы.** 1. Радиус цилиндра $R$ будет равен радиусу окружности, описанной около квадрата в основании призмы. Диагональ квадрата $d = a\sqrt{2} = 2\sqrt{2}$. Радиус $R = \frac{d}{2} = \frac{2\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2}$. 2. Высота цилиндра $H$ равна боковому ребру призмы: $H = \frac{2}{\pi}$. 3. Объем цилиндра $V = \pi R^2 H$. $V = \pi \cdot (\sqrt{2})^2 \cdot \frac{2}{\pi} = \pi \cdot 2 \cdot \frac{2}{\pi} = 4$.