Вычислите A_{10}^3

Привет! Давай решим задания из твоего варианта: 1. $A_{10}^3 = 10 \cdot 9 \cdot 8 = 720$. 2. $9\sin^2\alpha - 5 + 9\cos^2\alpha = 9(\sin^2\alpha + \cos^2\alpha) - 5 = 9 \cdot 1 - 5 = 4$. 3. $\arccos(1/2) + 6\arcsin(-\sqrt{3}/2) = \frac{\pi}{3} + 6(-\frac{\pi}{3}) = \frac{\pi}{3} - 2\pi = -\frac{5\pi}{3}$. 4. $\cos x = -1/2$. Решение: $x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$. 5. $\log_{0,5} 8 + \log_{0,5} 4 = \log_{0,5} (8 \cdot 4) = \log_{0,5} 32$. Так как $0,5 = 2^{-1}$, а $32 = 2^5$, то $\log_{2^{-1}} 2^5 = 5 / (-1) = -5$. 6. $y = \log_4(4 - x)$. Область определения: $4 - x > 0 \Rightarrow x < 4$. Ответ: $(-\infty; 4)$. 7. $\sqrt{3x+7} = 5$. Возведем в квадрат: $3x + 7 = 25 \Rightarrow 3x = 18 \Rightarrow x = 6$. Проверка: $\sqrt{18+7} = 5$ (верно). 8. $y = x^7 - 5^x + 3x^3 - 6\cos x$. Производная: $y' = 7x^6 - 5^x \ln 5 + 9x^2 + 6\sin x$. 9. $\frac{(x+7)(x-6)}{x+4} \ge 0$. Корни: $-7, -4, 6$. Интервалы: $[-7; -4) \cup [6; +\infty)$. 10. $A(6; 3; -5), B(3; 0; -1)$. Вектор $\vec{AB} = (3-6; 0-3; -1-(-5)) = (-3; -3; 4)$. Длина $|\vec{AB}| = \sqrt{(-3)^2 + (-3)^2 + 4^2} = \sqrt{9+9+16} = \sqrt{34}$. 11. $S = 2(5\cdot3 + 3\cdot4 + 5\cdot4) = 2(15 + 12 + 20) = 94$ см$^2$. $V = 5\cdot3\cdot4 = 60$ см$^3$. 12. $y = x^4 - 8x^2$. $y' = 4x^3 - 16x = 4x(x^2-4)$. Критические точки $0, \pm2$. :::div .chart-container @chart-1::: Экстремумы: минимумы в $(\pm2; -16)$, максимум в $(0; 0)$. 13. $\log_5(5x-3) = \log_5(x-1)$. ОДЗ: $x > 0,6$ и $x > 1$. Решая уравнение $5x - 3 = x - 1$, получаем $4x = 2$, откуда $x = 0,5$. Корень не входит в ОДЗ. Решений нет. 14. $4^{x+1} + 4^x \ge 320 \Rightarrow 4^x \cdot 4 + 4^x \ge 320 \Rightarrow 5 \cdot 4^x \ge 320 \Rightarrow 4^x \ge 64 \Rightarrow 4^x \ge 4^3 \Rightarrow x \ge 3$.