Решите уравнение 4√3 * cos^3 x = cos(2x + π/2). Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [-4π; -5π/2]

Решим уравнение: $4\sqrt{3} \cos^3 x = \cos(2x + \frac{\pi}{2})$ 1. Используем формулу приведения $\cos(\alpha + \frac{\pi}{2}) = -\sin \alpha$: $4\sqrt{3} \cos^3 x = -\sin 2x$ 2. Используем формулу синуса двойного угла $\sin 2x = 2\sin x \cos x$: $4\sqrt{3} \cos^3 x = -2 \sin x \cos x$ 3. Перенесем все в одну сторону: $4\sqrt{3} \cos^3 x + 2 \sin x \cos x = 0$ 4. Вынесем общий множитель $2\cos x$: $2 \cos x (2\sqrt{3} \cos^2 x + \sin x) = 0$ Либо $\cos x = 0$, либо $2\sqrt{3} \cos^2 x + \sin x = 0$. Рассмотрим второй множитель. Заменим $\cos^2 x = 1 - \sin^2 x$: $2\sqrt{3}(1 - \sin^2 x) + \sin x = 0$ $2\sqrt{3} - 2\sqrt{3} \sin^2 x + \sin x = 0$ $2\sqrt{3} \sin^2 x - \sin x - 2\sqrt{3} = 0$ Пусть $t = \sin x$, тогда $2\sqrt{3} t^2 - t - 2\sqrt{3} = 0$. Дискриминант $D = (-1)^2 - 4(2\sqrt{3})(-2\sqrt{3}) = 1 + 16 \cdot 3 = 49$. $t_1 = \frac{1 + 7}{4\sqrt{3}} = \frac{8}{4\sqrt{3}} = \frac{2}{\sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{3}}{3} > 1$ (корней нет). $t_2 = \frac{1 - 7}{4\sqrt{3}} = \frac{-6}{4\sqrt{3}} = -\frac{3}{2\sqrt{3}} = -\frac{\sqrt{3}}{2}$. Значит, $\sin x = -\frac{\sqrt{3}}{2}$. Решения: 1) $\cos x = 0 \implies x = \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$. 2) $\sin x = -\frac{\sqrt{3}}{2} \implies x = -\frac{\pi}{3} + 2\pi n$ или $x = -\frac{2\pi}{3} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$. Отбор корней на отрезке $[-4\pi; -2,5\pi]$: - Для $\cos x = 0$: $k = -3 \implies x = \frac{\pi}{2} - 3\pi = -\frac{5\pi}{2}$. (Входит) $k = -4 \implies x = \frac{\pi}{2} - 4\pi = -\frac{7\pi}{2} = -3,5\pi$. (Входит) - Для $\sin x = -\frac{\sqrt{3}}{2}$: $n = -1 \implies x = -\frac{\pi}{3} - 2\pi = -\frac{7\pi}{3} \approx -2,33\pi$ (вне отрезка) $n = -2 \implies x = -\frac{\pi}{3} - 4\pi = -\frac{13\pi}{3} \approx -4,33\pi$ (вне отрезка) $n = -1 \implies x = -\frac{2\pi}{3} - 2\pi = -\frac{8\pi}{3} \approx -2,66\pi$ (входит) Ответ: $-3,5\pi; -2,66\pi; -2,5\pi$ (или $-\frac{7\pi}{2}; -\frac{8\pi}{3}; -\frac{5\pi}{2}$)