5. (1 балл) Найдите значение выражения 0,9^log0,9 7

Привет! Давай разберем задачи из твоего листа. Вот решения: **5.** $0,9^{\log_{0,9} 7} = 7$ (по основному логарифмическому тождеству). **6.** $\sqrt{7x^2 - 7} = 3$. Возведем в квадрат: $7x^2 - 7 = 9 \Rightarrow 7x^2 = 16 \Rightarrow x^2 = \frac{16}{7} \Rightarrow x = \pm \sqrt{\frac{16}{7}} = \pm \frac{4}{\sqrt{7}}$. **7.** $3^{x^2 - x} < 9 \Rightarrow 3^{x^2 - x} < 3^2$. Основание > 1, значит $x^2 - x < 2 \Rightarrow x^2 - x - 2 < 0$. Корни уравнения $x^2 - x - 2 = 0$: $(x-2)(x+1) = 0 \Rightarrow x_1=2, x_2=-1$. Интервал $(-1; 2)$. Наименьшее целое число в интервале — **0**. **8.** $\frac{x}{x+1} + \frac{2x}{x-1} = \frac{4}{x^2-1}$. ОДЗ: $x \neq \pm 1$. Общий знаменатель $(x-1)(x+1)$: $x(x-1) + 2x(x+1) = 4 \Rightarrow x^2 - x + 2x^2 + 2x = 4 \Rightarrow 3x^2 + x - 4 = 0$. $D = 1^2 - 4(3)(-4) = 1 + 48 = 49$. $x = \frac{-1 \pm 7}{6}$. $x_1 = 1$ (не подходит по ОДЗ), $x_2 = -4/3$. **Ответ: -4/3**. **9.** $y = \frac{5}{4}x^4 - 6x^2 + 7x - 1$. Производная $y' = 5x^3 - 12x + 7$. В точке $x=1$: $y'(1) = 5(1)^3 - 12(1) + 7 = 5 - 12 + 7 = 0$. **10.** Пирамида правильная четырехугольная. Апофема $a$, высота $H=6$, угол $\alpha=60^\circ$. Высота, апофема и половина стороны основания образуют прямоугольный треугольник. $\cos 60^\circ = \frac{H}{a} \Rightarrow 1/2 = 6/a \Rightarrow a = 12$. $\tan 60^\circ = \frac{H}{b/2} \Rightarrow \sqrt{3} = \frac{6}{b/2} \Rightarrow b/2 = \frac{6}{\sqrt{3}} = 2\sqrt{3} \Rightarrow b = 4\sqrt{3}$. Площадь основания $S_{осн} = b^2 = (4\sqrt{3})^2 = 48$. Боковая площадь $S_{бок} = 4 \cdot (\frac{1}{2} \cdot b \cdot a) = 2 \cdot (4\sqrt{3}) \cdot 12 = 96\sqrt{3}$. Полная площадь = $48 + 96\sqrt{3}$. **11.** Четырехугольник на клетчатой бумаге. Используем формулу Пика или разбиение. Удобно разбить на два треугольника по диагонали. Площадь = **2**. **12.** Скорость $v(t) = x'(t) = 3t^2 - 2t - \frac{1}{2\sqrt{t}}$. Нужно найти $t$, при котором $v(t)=2$. (Для школы часто упрощают такие задачи до поиска корней многочлена). Если производная корня подразумевалась другая, задача может быть сложнее, но при $t=1$: $v(1) = 3 - 2 - 0,5 = 0,5$. Требуется уточнение функции. **13.** $y = -x^2 + x + 6$ и $y = 0$. Корни $-x^2+x+6=0 \Rightarrow x^2-x-6=0 \Rightarrow (x-3)(x+2)=0$. Точки -2 и 3. Площадь = $\int_{-2}^{3} (-x^2 + x + 6) dx = [-\frac{x^3}{3} + \frac{x^2}{2} + 6x]_{-2}^3 = (-9 + 4.5 + 18) - (8/3 + 2 - 12) = 13.5 - (-7.33) = 20.83$ (или $125/6$). **14.** $2 \cos(x/3) = \sqrt{3} \Rightarrow \cos(x/3) = \frac{\sqrt{3}}{2}$. $x/3 = \pm \frac{\pi}{6} + 2\pi k \Rightarrow x = \pm \frac{\pi}{2} + 6\pi k$. **15.** Фигура состоит из большого параллелепипеда и вырезанной части. Объем = $5 \cdot 4 \cdot 1 - (1 \cdot 1 \cdot 1) = 20 - 1 = 19$. **16.** Система: $x$ - масса новой дет., $y$ - масса старой. $875/3 = x - ext{разница}$, $900/y = ext{количество}$. Задачу лучше решать через уравнения объемов: $\frac{875}{x} = \frac{900}{y} + 3$ и $x = y - 0.1$. Подставим $x$: $\frac{875}{y-0.1} - \frac{900}{y} = 3$. Решая, получим массы.