5. (1 балл) Найдите значение выражения 0,9log 0,9 7

### 5. $0,9^{\log_{0,9} 7} = 7$ ### 6. $\sqrt{7x^2 - 7} = 3$ Возведем обе части в квадрат: $7x^2 - 7 = 9 \Rightarrow 7x^2 = 16 \Rightarrow x^2 = \frac{16}{7} \Rightarrow x = \pm \frac{4}{\sqrt{7}} = \pm \frac{4\sqrt{7}}{7}$. ### 7. $3^{x^2 - x} < 9 \Rightarrow 3^{x^2 - x} < 3^2 \Rightarrow x^2 - x < 2 \Rightarrow x^2 - x - 2 < 0 \Rightarrow (x-2)(x+1) < 0$. Решение: $x \in (-1; 2)$. Целые числа в этом интервале: $0, 1$. Наименьшее — $0$. **Ответ: 0.** ### 8. $\frac{x}{x+1} + \frac{2x}{x-1} = \frac{4}{x^2 - 1}$ Приведем к общему знаменателю $(x-1)(x+1)$:\ $x(x-1) + 2x(x+1) = 4 \Rightarrow x^2 - x + 2x^2 + 2x = 4 \Rightarrow 3x^2 + x - 4 = 0$. Дискриминант: $D = 1 - 4 \cdot 3 \cdot (-4) = 49$. Корни: $x_1 = 1$, $x_2 = -\frac{4}{3}$. Так как $x \neq \pm 1$, то $x = 1$ — посторонний корень. **Ответ: -4/3.** ### 9. $y = \frac{5}{4}x^4 - 6x^2 + 7x - 1$ $y' = 5x^3 - 12x + 7$ $y'(1) = 5(1)^3 - 12(1) + 7 = 5 - 12 + 7 = 0$. ### 10. Пусть $H=6$, угол $\alpha=60^{\circ}$. Высота, апофема и проекция апофемы на основание образуют прямоугольный треугольник. $\\ \tan(60^{\circ}) = \frac{H}{a/2} \Rightarrow \sqrt{3} = \frac{6}{a/2} \Rightarrow a = \frac{12}{\sqrt{3}} = 4\sqrt{3}$. $S_{\text{осн}} = a^2 = (4\sqrt{3})^2 = 48$. Апофема боковой грани: $h = \frac{H}{\sin(60^{\circ})} = \frac{6}{\sqrt{3}/2} = 4\sqrt{3}$. $S_{\text{бок}} = 4 \cdot \frac{1}{2} \cdot a \cdot h = 2 \cdot 4\sqrt{3} \cdot 4\sqrt{3} = 96$. $S_{\text{полн}} = 48 + 96 = 144$. ### 11. По рисунку: основание треугольника равно 2 клеткам (2 см), высота — 3 клеткам (3 см). $S = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 3 = 3 \text{ см}^2$. ### 12. $x(t) = t^3 - t^2 - \sqrt{2}t + 2\sqrt{3}$ (предполагая $\sqrt{2}t$). $v(t) = x'(t) = 3t^2 - 2t - \sqrt{2}$. $3t^2 - 2t - \sqrt{2} = 2 \Rightarrow 3t^2 - 2t - (2 + \sqrt{2}) = 0$. Решение через дискриминант $D = 4 - 12(-(2 + \sqrt{2})) = 28 + 12\sqrt{2}$. $t = \frac{2 + \sqrt{28 + 12\sqrt{2}}}{6} \approx 1.25 \text{ сек}$. ### 13. $y = -x^2 + x + 6, y=0$. Точки пересечения: $-x^2 + x + 6 = 0 \Rightarrow x_1 = -2, x_2 = 3$. $S = \int_{-2}^3 (-x^2 + x + 6) dx = [-\frac{x^3}{3} + \frac{x^2}{2} + 6x]_{-2}^3 = (-\frac{27}{3} + \frac{9}{2} + 18) - (\frac{8}{3} + \frac{4}{2} - 12) = 13,5 - (-7,33) = 20,83$. ### 14. $2 \cos(\frac{x}{3}) = \sqrt{3} \Rightarrow \cos(\frac{x}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2} \Rightarrow \frac{x}{3} = \pm \frac{\pi}{6} + 2\pi k \Rightarrow x = \pm \frac{\pi}{2} + 6\pi k$. ### 15. Объем = $V_{\text{большой}} - V_{\text{вырез}}$. Фигура со сторонами $5, 4, 1$ (вырез $1 \times 1 \times 1$). $V = 5 \cdot 4 \cdot 1 - 1 \cdot 1 \cdot 1 = 19 \text{ (условно)}.$ ### 16. Пусть $x$ — масса новой детали (кг), $y$ — масса старой детали (кг). $y = 2x + 100$. $\frac{875}{x} - \frac{900}{y} = 3$. Подстановка: $\frac{875}{x} - \frac{900}{2x+100} = 3$. Решая уравнение $3x^2 - 275x - 43750 = 0$, получаем $x=175$, $y=450$. **Ответ: 175 кг и 450 кг.**