1. Найти диагональ прямоугольного параллелепипеда, если его измерения равны 6; 10; 4.

Решение заданий Варианта 1: 1. Дано: измерения прямоугольного параллелепипеда $a=6$, $b=10$, $c=4$. Формула диагонали $d = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2}$. $d = \sqrt{6^2 + 10^2 + 4^2} = \sqrt{36 + 100 + 16} = \sqrt{152} = 2\sqrt{38}$. **Ответ: 2\sqrt{38}** 2. Дано: высота цилиндра $h=5$, диагональ осевого сечения $d=13$. Осевое сечение — прямоугольник со сторонами $h$ и $2r$. По теореме Пифагора $(2r)^2 + h^2 = d^2 \Rightarrow 4r^2 = 13^2 - 5^2 = 169 - 25 = 144 \Rightarrow 4r^2 = 144 \Rightarrow r^2 = 36 \Rightarrow r = 6$. Объем цилиндра $V = \pi r^2 h = \pi \cdot 36 \cdot 5 = 180\pi$. **Ответ: 180\pi \text{ см}^3.** 3. Дано: образующая конуса $l=15$, диаметр основания $D=18$, значит $r=9$. Найдем высоту $h = \sqrt{l^2 - r^2} = \sqrt{15^2 - 9^2} = \sqrt{225 - 81} = \sqrt{144} = 12$. Объем конуса $V = \frac{1}{3}\pi r^2 h = \frac{1}{3} \cdot \pi \cdot 81 \cdot 12 = \pi \cdot 81 \cdot 4 = 324\pi$. **Ответ: 324\pi \text{ см}^3.** 4. Дано: площадь сечения (большого круга) $S = \pi R^2 = 9\pi$. Отсюда $R^2 = 9 \Rightarrow R = 3$. Объем шара $V = \frac{4}{3}\pi R^3 = \frac{4}{3} \cdot \pi \cdot 27 = 36\pi$. **Ответ: 36\pi \text{ см}^3.** 5. Дано: правильная треугольная призма, сторона основания $a=3$, диагональ боковой грани $d=5$. Боковая грань — прямоугольник со сторонами $a$ и $H$. По теореме Пифагора $a^2 + H^2 = d^2 \Rightarrow 3^2 + H^2 = 5^2 \Rightarrow 9 + H^2 = 25 \Rightarrow H = 4$. Площадь основания $S_{осн} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4} = \frac{9\sqrt{3}}{4}$. Площадь боковой поверхности $S_{бок} = P_{осн} \cdot H = (3 \cdot 3) \cdot 4 = 36$. Площадь полной поверхности $S_{полн} = S_{бок} + 2S_{осн} = 36 + 2 \cdot \frac{9\sqrt{3}}{4} = 36 + 4,5\sqrt{3}$. **Ответ: S_{бок} = 36 \text{ см}^2; S_{полн} = 36 + 4,5\sqrt{3} \text{ см}^2.**