Исследуйте функцию на монотонность и экстремум: f(x) = 3x^3 - 2x^2 - 5x.

Привет! Давай разберем задания из твоего учебника. ### Задание 10 Исследуйте функцию на монотонность и экстремум: $f(x) = 3x^3 - 2x^2 - 5x$. 1. Найдем производную функции: $f'(x) = 9x^2 - 4x - 5$. 2. Приравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки: $9x^2 - 4x - 5 = 0$. Дискриминант $D = (-4)^2 - 4 \cdot 9 \cdot (-5) = 16 + 180 = 196 = 14^2$. $x_1 = \frac{4 + 14}{18} = 1$, $x_2 = \frac{4 - 14}{18} = -\frac{10}{18} = -\frac{5}{9}$. 3. Метод интервалов для производной: На интервале $(-\infty; -5/9)$ функция возрастает ($f' > 0$). На интервале $(-5/9; 1)$ функция убывает ($f' < 0$). На интервале $(1; +\infty)$ функция возрастает ($f' > 0$). 4. Экстремумы: Точка максимума: $x = -5/9$, $f(-5/9) = 3(-5/9)^3 - 2(-5/9)^2 - 5(-5/9) = 3(-125/729) - 2(25/81) + 25/9 = -125/243 - 50/81 + 25/9 = (-125 - 150 + 675)/243 = 400/243 \approx 1.65$. Точка минимума: $x = 1$, $f(1) = 3 - 2 - 5 = -4$. ### Задание 11 **а)** $\log_2(8 + 3x) = \log_2(3 + x) + 1$ ОДЗ: $8 + 3x > 0 \Rightarrow x > -8/3$ и $3 + x > 0 \Rightarrow x > -3$. Значит, $x > -8/3$. Представим $1$ как $\log_2 2$: $\log_2(8 + 3x) = \log_2(3 + x) + \log_2 2$ $\log_2(8 + 3x) = \log_2(2(3 + x))$ $8 + 3x = 6 + 2x$ $x = -2$. Проверка: $-2 > -8/3$ (верно). **Ответ: -2.** **б)** $5^{2x} + 4 \cdot 5^x - 5 = 0$ Пусть $t = 5^x$, где $t > 0$. Тогда: $t^2 + 4t - 5 = 0$ По теореме Виета: $t_1 = -5$ (не подходит, так как $t > 0$), $t_2 = 1$. $5^x = 1 = 5^0 \Rightarrow x = 0$. **Ответ: 0.** ### Задание 12 Условие не содержит самих неравенств и вариантов ответов для сопоставления. Если пришлешь их, я с радостью помогу установить соответствие!