найди sin2 5x/3*cos5x/3+3cos2=0

Для решения уравнения $\sin^2\left(\frac{5x}{3}\right) \cdot \cos\left(\frac{5x}{3}\right) + 3\cos^2\left(\frac{5x}{3}\right) = 0$ выполним следующие шаги: 1. Вынесем общий множитель $\cos\left(\frac{5x}{3}\right)$ за скобки: $\cos\left(\frac{5x}{3}\right) \cdot \left(\sin^2\left(\frac{5x}{3}\right) + 3\cos\left(\frac{5x}{3}\right)\right) = 0$ 2. Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Рассмотрим два случая: **Случай 1:** $\cos\left(\frac{5x}{3}\right) = 0$ $\frac{5x}{3} = \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$ $5x = \frac{3\pi}{2} + 3\pi k$ $x = \frac{3\pi}{10} + \frac{3\pi k}{5}, k \in \mathbb{Z}$ **Случай 2:** $\sin^2\left(\frac{5x}{3}\right) + 3\cos\left(\frac{5x}{3}\right) = 0$ Используем основное тригонометрическое тождество: $\sin^2\alpha = 1 - \cos^2\alpha$. $1 - \cos^2\left(\frac{5x}{3}\right) + 3\cos\left(\frac{5x}{3}\right) = 0$ $-\cos^2\left(\frac{5x}{3}\right) + 3\cos\left(\frac{5x}{3}\right) + 1 = 0$ Умножим на $-1$: $\cos^2\left(\frac{5x}{3}\right) - 3\cos\left(\frac{5x}{3}\right) - 1 = 0$ Пусть $t = \cos\left(\frac{5x}{3}\right)$, где $|t| \le 1$. $t^2 - 3t - 1 = 0$ Дискриминант $D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1) = 9 + 4 = 13$. $t_{1,2} = \frac{3 \pm \sqrt{13}}{2}$ $t_1 = \frac{3 + \sqrt{13}}{2} \approx \frac{3 + 3.6}{2} \approx 3.3$ (не подходит, так как $3.3 > 1$) $t_2 = \frac{3 - \sqrt{13}}{2} \approx \frac{3 - 3.6}{2} \approx -0.3$ (подходит) Таким образом, $\cos\left(\frac{5x}{3}\right) = \frac{3 - \sqrt{13}}{2}$. $\frac{5x}{3} = \pm \arccos\left(\frac{3 - \sqrt{13}}{2}\right) + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$ $x = \frac{3}{5} \left( \pm \arccos\left(\frac{3 - \sqrt{13}}{2}\right) + 2\pi n \right), n \in \mathbb{Z}$ **Ответ:** $x = \frac{3\pi}{10} + \frac{3\pi k}{5}, k \in \mathbb{Z}$ и $x = \frac{3}{5} \left( \pm \arccos\left(\frac{3 - \sqrt{13}}{2}\right) + 2\pi n \right), n \in \mathbb{Z}$.