1. Решите уравнение cos x = \sqrt{3}/2.

Привет! Давай разберем твои задания по математике. ### 1. Решение уравнения $\cos x = \frac{\sqrt{3}}{2}$ $x = \pm \arccos(\frac{\sqrt{3}}{2}) + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$ $x = \pm \frac{\pi}{6} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$ **Ответ:** $\pm \frac{\pi}{6} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$ ### 2. Производная функции $f(x) = x^2 \cdot \ln x$ в точке $x_0 = 1$ Используем правило производной произведения $(uv)' = u'v + uv'$: $f'(x) = (x^2)' \cdot \ln x + x^2 \cdot (\ln x)' = 2x \cdot \ln x + x^2 \cdot \frac{1}{x} = 2x \ln x + x$ Подставим $x_0 = 1$: $f'(1) = 2 \cdot 1 \cdot \ln 1 + 1 = 2 \cdot 0 + 1 = 1$ **Ответ:** 1 ### 3. Абсцисса точки графика функции $y = 5x^2 - 4x - 1$, где угловой коэффициент касательной равен 0 Угловой коэффициент касательной равен производной: $y' = 10x - 4$. Приравниваем к 0: $10x - 4 = 0 \Rightarrow 10x = 4 \Rightarrow x = 0,4$ **Ответ:** 0,4 ### 4. Момент времени, когда скорость точки $x(t) = 4t^2 - 3t + 2$ равна 9 Скорость $v(t) = x'(t) = 8t - 3$. Приравниваем скорость к 9: $8t - 3 = 9 \Rightarrow 8t = 12 \Rightarrow t = 1,5$ **Ответ:** 1,5 ### 5. Интеграл $\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{3}} \frac{dx}{\sin^2 x}$ Первообразная $\int \frac{dx}{\sin^2 x} = -\cot x$. Вычисляем определенный интеграл: $-\cot(\frac{\pi}{3}) - (-\cot(\frac{\pi}{4})) = -\frac{1}{\sqrt{3}} - (-1) = 1 - \frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{3-\sqrt{3}}{3}$ **Ответ:** $\frac{3-\sqrt{3}}{3}$ ### 6. Площадь фигуры, ограниченной линиями $y = -x^2 + 4x, y = 0, x = 3, x = 1$ Площадь $S = \int_{1}^{3} (-x^2 + 4x) dx = [-\frac{x^3}{3} + 2x^2]_{1}^{3}$ $S = (-\frac{27}{3} + 2 \cdot 9) - (-\frac{1}{3} + 2 \cdot 1) = (-9 + 18) - (-\frac{1}{3} + 2) = 9 - \frac{5}{3} = \frac{27-5}{3} = \frac{22}{3} = 7\frac{1}{3}$ **Ответ:** $7\frac{1}{3}$ ### 7. Вероятность того, что вынутый шар черный Всего шаров: $20 + 15 = 35$. Черных шаров: 15. Вероятность $P = \frac{15}{35} = \frac{3}{7}$. **Ответ:** $\frac{3}{7}$ ### 8. Площадь диагонального сечения прямой четырехугольной призмы В основании лежит прямоугольник со сторонами 7 и 24 (если призма прямоугольная, иначе диагональ основания находится по теореме Пифагора). Диагональ основания $d = \sqrt{7^2 + 24^2} = \sqrt{49 + 576} = \sqrt{625} = 25$ см. Диагональное сечение — это прямоугольник со сторонами $d$ (диагональ основания) и $h$ (высота призмы). $S = d \cdot h = 25 \cdot 8 = 200$ см². **Ответ:** 200 см² ### 9. Образующая конуса, высота которого равна 8 м, а диаметр основания 12 м Радиус основания $r = \frac{12}{2} = 6$ м. Высота $h = 8$ м. Образующая $l$ образует прямоугольный треугольник с высотой и радиусом: $l = \sqrt{r^2 + h^2} = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10$ м. **Ответ:** 10 м.