11. Радиус цилиндра равен 8 см. Через середину оси цилиндра проведена прямая, пересекающая плоскость, содержащую нижнее основание цилиндра, на расстоянии 12 см от центра нижнего основания. Эта прямая пересекает образующую цилиндра на расстоянии 2 см от плоскости нижнего основания. Найдите высоту цилиндра.

Допущение: Радиус цилиндра $R = 8$ см. Прямая проходит через центр оси, пересекает плоскость нижнего основания на расстоянии $d = 12$ см от центра основания. Эта прямая пересекает образующую цилиндра на расстоянии $h_1 = 2$ см от плоскости нижнего основания. Нужно найти высоту цилиндра $H$. Решение: 1. Пусть $O$ — центр нижнего основания, $O_1$ — центр верхнего основания. Ось цилиндра — отрезок $OO_1$. Точка $M$ — середина оси $OO_1$, то есть $OM = MO_1 = H/2$. 2. Прямая $L$ проходит через точку $M$. Пусть прямая пересекает плоскость нижнего основания в точке $A$. По условию, расстояние от центра нижнего основания $O$ до этой точки $A$ равно $OA = 12$ см. 3. Прямая пересекает образующую цилиндра. Пусть образующая лежит на расстоянии $R = 8$ см от оси. Выберем систему координат с центром в $O$. Ось $z$ совпадает с осью цилиндра. Точка $M$ имеет координаты $(0, 0, H/2)$. 4. Прямая $L$ проходит через точку $M(0, 0, H/2)$ и точку $A(12, 0, 0)$ в плоскости основания. Уравнение прямой: вектор $\vec{MA} = (12, 0, -H/2)$. Параметрическое уравнение: $x = 12t, y = 0, z = H/2 - (H/2)t$. Здесь $t$ — параметр. 5. Прямая пересекает образующую, которая находится на расстоянии $R=8$ от оси (например, в точке с $x=8$). Подставим $x=8$ в уравнение: $8 = 12t \Rightarrow t = 8/12 = 2/3$. 6. Высота $z$ этой точки пересечения равна $z = H/2 - (H/2)(2/3) = H/2(1 - 2/3) = H/2(1/3) = H/6$. 7. По условию, эта точка пересечения находится на расстоянии $2$ см от плоскости нижнего основания, значит $z = 2$. 8. Приравниваем: $H/6 = 2 \Rightarrow H = 12$ см. Ответ: 12 см.