1. ( 1 балл) Вычислите значение выражения (2^5 * 2^5)^1/2

Вот решения задач из твоего билета: 1. Вычислите значение выражения $(2^5 \cdot 2^5)^{\frac{1}{2}}$: $(2^5 \cdot 2^5)^{\frac{1}{2}} = (2^{5+5})^{\frac{1}{2}} = (2^{10})^{\frac{1}{2}} = 2^{10 \cdot \frac{1}{2}} = 2^5 = 32$. 2. Три ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, равны 5, 6, 9 см. Найдите боковую поверхность параллелепипеда: В задаче обычно боковой поверхностью считают площадь боковых граней (без оснований). Однако в прямоугольном параллелепипеде с ребрами 5, 6, 9 боковая поверхность зависит от выбора основания. Если основание — грань 6×9, то боковые грани — это 2 штуки 5×6 и 2 штуки 5×9. $S_{бок} = 2 \cdot (5 \cdot 6) + 2 \cdot (5 \cdot 9) = 2 \cdot 30 + 2 \cdot 45 = 60 + 90 = 150 \text{ см}^2$. 3. В коробке лежит 8 красных, 7 синих и 5 желтых фломастеров. Какова вероятность того, что будет взят наугад красный фломастер: Всего фломастеров: $8 + 7 + 5 = 20$. Вероятность: $P = \frac{8}{20} = \frac{2}{5} = 0,4$. 4. Докажите тождество $\sin \alpha \cos \alpha \operatorname{ctg} \alpha = \cos^2 \alpha$: $\sin \alpha \cdot \cos \alpha \cdot \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} = \cos \alpha \cdot \cos \alpha = \cos^2 \alpha$. Тождество доказано. 5. Решите уравнение $\log_4(3x + 1) = 2$: $3x + 1 = 4^2$ $3x + 1 = 16$ $3x = 15$ $x = 5$. 6. Решите неравенство $3^{2-3x} < \frac{1}{81}$: $3^{2-3x} < 3^{-4}$ $2 - 3x < -4$ $-3x < -6$ $x > 2$. 7. Используя график функции $y = f(x)$, определите: - Наименьшее значение функции: $y_{min} = -2$. - Наибольшее значение функции: $y_{max} = 3$. - Промежутки возрастания: функция возрастает на $(-1, 1)$ и $(3, 5)$ (примерно). - Промежутки убывания: функция убывает на $(-3, -1)$ и $(1, 3)$ (примерно). 8. Вычислите определенный интеграл $\int_0^3 (3x^2 + 2) dx$: $\int_0^3 (3x^2 + 2) dx = [x^3 + 2x]_0^3 = (3^3 + 2 \cdot 3) - (0^3 + 2 \cdot 0) = 27 + 6 = 33$. 9. Найдите решение уравнения $5 - 4\sin^2 \alpha = 4\cos \alpha$: $5 - 4(1 - \cos^2 \alpha) = 4\cos \alpha$ $5 - 4 + 4\cos^2 \alpha - 4\cos \alpha = 0$ $4\cos^2 \alpha - 4\cos \alpha + 1 = 0$ $(2\cos \alpha - 1)^2 = 0$ $2\cos \alpha = 1 \Rightarrow \cos \alpha = 0,5$ $\alpha = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$. 10. Высота правильной четырехугольной пирамиды равна 16 см, а боковое ребро — 20 см. Найти объем пирамиды: Пусть $H = 16$ (высота), $l = 20$ (боковое ребро). В основании квадрат со стороной $a$. Диагональ квадрата $d$ связана с боковым ребром: $(\frac{d}{2})^2 + H^2 = l^2$. $(\frac{d}{2})^2 + 16^2 = 20^2 (\frac{d}{2})^2 + 256 = 400 (\frac{d}{2})^2 = 144 \frac{d}{2} = 12 \Rightarrow d = 24$. Так как $d = a\sqrt{2}$, то $a = \frac{24}{\sqrt{2}} = 12\sqrt{2}$. $S_{осн} = a^2 = (12\sqrt{2})^2 = 144 \cdot 2 = 288 \text{ см}^2$. $V = \frac{1}{3} S_{осн} H = \frac{1}{3} \cdot 288 \cdot 16 = 96 \cdot 16 = 1536 \text{ см}^3$.