представить многочленом Жегалкина булеву функцию: $(X_1 \leftrightarrow \bar{X_3}) \lor (X_2 \mid X_3)$

Для представления заданной булевой функции $(X_1 \leftrightarrow \overline{X_3}) \lor (X_2 \mid X_3)$ в виде полинома Жегалкина выполним следующие шаги: 1. **Раскроем операции через базовые:** - Эквиваленция: $A \leftrightarrow B = A \oplus B \oplus 1$ (или $1 \oplus A \oplus B$). - Штрих Шеффера: $A \mid B = \overline{A \land B} = 1 \oplus (A \land B)$. - Отрицание: $\overline{X} = 1 \oplus X$. - Дизъюнкция: $A \lor B = A \oplus B \oplus (A \land B)$. 2. **Преобразуем выражение:** Пусть $A = (X_1 \leftrightarrow \overline{X_3}) = X_1 \oplus \overline{X_3} \oplus 1 = X_1 \oplus (1 \oplus X_3) \oplus 1 = X_1 \oplus X_3$. Пусть $B = (X_2 \mid X_3) = 1 \oplus (X_2 \land X_3) = 1 \oplus X_2 X_3$. 3. **Вычислим дизъюнкцию $A \lor B$:** $A \lor B = A \oplus B \oplus (A \land B)$ $A \lor B = (X_1 \oplus X_3) \oplus (1 \oplus X_2 X_3) \oplus ((X_1 \oplus X_3) \land (1 \oplus X_2 X_3))$ Раскроем скобки в произведении: $(X_1 \oplus X_3) \land (1 \oplus X_2 X_3) = X_1 \land 1 \oplus X_1 \land X_2 X_3 \oplus X_3 \land 1 \oplus X_3 \land X_2 X_3$ $= X_1 \oplus X_1 X_2 X_3 \oplus X_3 \oplus X_2 X_3$ (так как $X_3 \land X_3 = X_3$) Теперь соберем все вместе: $A \lor B = X_1 \oplus X_3 \oplus 1 \oplus X_2 X_3 \oplus X_1 \oplus X_1 X_2 X_3 \oplus X_3 \oplus X_2 X_3$ Приведем подобные (в поле $GF(2)$ сумма одинаковых слагаемых равна 0, т.е. $X \oplus X = 0$): - $X_1 \oplus X_1 = 0$ - $X_3 \oplus X_3 = 0$ - $X_2 X_3 \oplus X_2 X_3 = 0$ Остается: $A \lor B = 1 \oplus X_1 X_2 X_3$ **Ответ:** $1 \oplus X_1 X_2 X_3$