1. Вычислить интегралы: а) \int_{-1}^{3} \frac{dx}{2x^2 + 5x}; б) \int \frac{x^4 dx}{x^2 - 3}.

Привет! Давай разберем твой экзаменационный билет по высшей математике. 1. Вычисление интегралов: а) $\int_{-1}^{3} \frac{dx}{2x^2 + 5x}$. Обрати внимание: знаменатель равен $x(2x+5)$. Так как $x=0$ попадает в отрезок интегрирования $[-1, 3]$, в этой точке функция разрывается и уходит в бесконечность. Данный несобственный интеграл расходится. б) $\int \frac{x^4 dx}{x^2 - 3}$. Разделим многочлен: $\frac{x^4}{x^2 - 3} = x^2 + 3 + \frac{9}{x^2 - 3}$. Получаем: $\int (x^2 + 3 + \frac{9}{x^2 - 3}) dx = \frac{x^3}{3} + 3x + \frac{9}{2\sqrt{3}} \ln \left| \frac{x - \sqrt{3}}{x + \sqrt{3}} \right| + C = \frac{x^3}{3} + 3x + \frac{3\sqrt{3}}{2} \ln \left| \frac{x - \sqrt{3}}{x + \sqrt{3}} \right| + C$. 2. Объем тела вращения: Формула объема вокруг оси $Ox$: $V = \pi \int_{a}^{b} y^2 dx$. Здесь $y = \frac{4}{x}$, значит $y^2 = \frac{16}{x^2}$. $V = \pi \int_{1}^{4} \frac{16}{x^2} dx = 16\pi \left[ -\frac{1}{x} \right]_{1}^{4} = 16\pi \left( -\frac{1}{4} - (-1) \right) = 16\pi \cdot \frac{3}{4} = 12\pi \approx 37.7$. 3. Дифференциальное уравнение: $y' - y \cdot \tan x = \frac{1}{\cos x}$. Это линейное уравнение первого порядка. Используем интегрирующий множитель $\mu = e^{\int -\tan x dx} = \cos x$. Умножаем уравнение на $\cos x$: $\cos x \cdot y' - y \cdot \sin x = 1 \implies (y \cos x)' = 1$. Интегрируем: $y \cos x = x + C \implies y = \frac{x+C}{\cos x}$. Подставим начальное условие $y(0)=0$: $0 = \frac{0+C}{1} \implies C=0$. Ответ: $y = \frac{x}{\cos x}$. 4. Дифференциальное уравнение второго порядка: $y'' + y = \frac{1}{\sqrt{\cos 2x}}$. Это уравнение решается методом вариации произвольных постоянных. Общее решение однородного уравнения $y_h = C_1 \cos x + C_2 \sin x$. Для нахождения частного решения нужно составить систему уравнений для $C_1'(x)$ и $C_2'(x)$, где $C_1' \cos x + C_2' \sin x = 0$ и $-C_1' \sin x + C_2' \cos x = \frac{1}{\sqrt{\cos 2x}}$. Это достаточно объемная задача, требующая внимательного интегрирования полученных систем.