Медианы AA1, BB1 и CC1 треугольника ABC пересекаются в точке M. Известно, что AC = 3MB.

Дано: треугольник $ABC$, медианы $AA_1, BB_1, CC_1$ пересекаются в точке $M$. $AC = 3MB$. а) Доказательство: Медианы треугольника делятся точкой пересечения в отношении $2:1$, считая от вершины. Значит, $MB_1 = \frac{1}{2} MB$ и $BM = 2MB_1$. Также по условию $AC = 3MB$, то есть $MB = \frac{1}{3} AC$. Следовательно, $BM = 2MB_1 = \frac{2}{3} m_b$ (где $m_b$ — вся медиана $BB_1$). Известно свойство: если медиана равна половине стороны, к которой она проведена, то треугольник прямоугольный. В треугольнике $ABC$ медиана $BB_1 = MB + MB_1 = MB + \frac{1}{2} MB = \frac{3}{2} MB$. Так как $MB = \frac{1}{3} AC$, то $BB_1 = \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{3} AC = \frac{1}{2} AC$. Так как медиана $BB_1$ равна половине стороны $AC$, то треугольник $ABC$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $B$. б) Найти $AA_1^2 + CC_1^2$ при $AC = 8$: Пусть $AB = c$, $BC = a$. Так как $\triangle ABC$ прямоугольный ($ \angle B = 90^\circ $), то $AC^2 = a^2 + c^2 = 8^2 = 64$. Медианы $AA_1$ и $CC_1$ выражаются через стороны: $AA_1^2 = c^2 + (a/2)^2 = c^2 + a^2/4$ $CC_1^2 = a^2 + (c/2)^2 = a^2 + c^2/4$ Сложим их: $AA_1^2 + CC_1^2 = c^2 + a^2/4 + a^2 + c^2/4 = \frac{5}{4} (a^2 + c^2) = \frac{5}{4} AC^2$ Подставим $AC^2 = 64$: $AA_1^2 + CC_1^2 = \frac{5}{4} \cdot 64 = 5 \cdot 16 = 80$. **Ответ: 80.**