Решите неравенство (3x^2 - 18x + 27)/(x + 7) <= 0

Для решения дробно-рационального неравенства $\frac{3x^2 - 18x + 27}{x + 7} \le 0$ выполним следующие шаги: 1. **Рассмотрим числитель:** $3x^2 - 18x + 27 = 0$. Вынесем общий множитель 3: $3(x^2 - 6x + 9) = 0$. Решим квадратное уравнение через дискриминант для выражения в скобках: $a = 1, b = -6, c = 9$. $D = b^2 - 4ac = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 9 = 36 - 36 = 0$. Так как $D = 0$, уравнение имеет один корень (или два совпадающих): $x = \frac{-b}{2a} = \frac{6}{2} = 3$. Числитель можно представить как $3(x - 3)^2$. Заметим, что $(x - 3)^2 \ge 0$ при любом $x$. 2. **Рассмотрим знаменатель:** $x + 7 \ne 0$. $x \ne -7$. 3. **Анализ знаков:** Неравенство принимает вид: $\frac{3(x - 3)^2}{x + 7} \le 0$. Так как числитель $3(x - 3)^2$ всегда неотрицателен (больше или равен нулю), знак всей дроби зависит только от знаменателя, за исключением случая, когда числитель равен нулю. * Дробь равна 0, если $3(x - 3)^2 = 0$, то есть при $x = 3$. * Дробь меньше 0, если знаменатель $x + 7 < 0$, то есть при $x < -7$. 4. **Объединяем результаты:** Решением являются все значения $x$ из интервала $(-\infty; -7)$ и отдельно точка $x = 3$. **Ответ:** $x \in (-\infty; -7) \cup \{3\}$