1. Вычислить интегралы: а) интеграл от 2 до 4 (в условии 0-1) dx / (e^x + 1) ; б) интеграл arcsin x dx.

Допущение: Восстановлен текст «интеграл от 0 до 1 dx / (e^x + 1)» для задания 1а, так как в исходном изображении текст размыт. ### 1. Вычислить интегралы: а) $\int_{0}^{1} \frac{dx}{e^x+1}$. Сделаем замену $t = e^x$, тогда $dt = e^x dx = t dx$, следовательно $dx = \frac{dt}{t}$. Пределы интегрирования: при $x=0, t=1$; при $x=1, t=e$. $\int_{1}^{e} \frac{dt}{t(t+1)} = \int_{1}^{e} (\frac{1}{t} - \frac{1}{t+1}) dt = (\ln|t| - \ln|t+1|)|_{1}^{e} = (\ln|\frac{t}{t+1}|)|_{1}^{e} = \ln(\frac{e}{e+1}) - \ln(\frac{1}{2}) = \ln(\frac{2e}{e+1})$. б) $\int \arcsin x dx$. Интегрирование по частям: $u = \arcsin x, dv = dx \Rightarrow du = \frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}, v = x$. $\int \arcsin x dx = x \arcsin x - \int \frac{x dx}{\sqrt{1-x^2}} = x \arcsin x + \frac{1}{2} \int (1-x^2)^{-1/2} d(1-x^2) = x \arcsin x + \sqrt{1-x^2} + C$. ### 2. Вычислить площадь, ограниченную линиями $y = 3 - 2x - x^2, y = 0$: Найдем точки пересечения с осью $Ox$: $3 - 2x - x^2 = 0 \Rightarrow x^2 + 2x - 3 = 0$. Корни: $x_1 = -3, x_2 = 1$. $S = \int_{-3}^{1} (3 - 2x - x^2) dx = (3x - x^2 - \frac{x^3}{3})|_{-3}^{1} = (3 - 1 - \frac{1}{3}) - (-9 - 9 + 9) = \frac{5}{3} + 9 = \frac{32}{3} \approx 10,67$. ### 3. Найти общее решение дифференциального уравнения $(x - y)y' = x + y$: Это однородное уравнение. Пусть $y = ux, y' = u'x + u$. $(x - ux)(u'x + u) = x + ux \Rightarrow x(1-u)(u'x + u) = x(1+u) \Rightarrow (1-u)(u'x + u) = 1 + u$. $u'x + u = \frac{1+u}{1-u} \Rightarrow u'x = \frac{1+u}{1-u} - u = \frac{1+u-u+u^2}{1-u} = \frac{1+u^2}{1-u}$. $\frac{1-u}{1+u^2} du = \frac{dx}{x} \Rightarrow \int \frac{1}{1+u^2} du - \frac{1}{2} \int \frac{d(u^2+1)}{u^2+1} = \ln|x| + C$. $\arctan u - \frac{1}{2} \ln(1+u^2) = \ln|x| + C$. Подставим $u = y/x$: $\arctan(\frac{y}{x}) - \frac{1}{2} \ln(1 + \frac{y^2}{x^2}) = \ln|x| + C$. ### 4. Решить дифференциальное уравнение $y''(2y+3) - 2(y')^2 = 0$: Порядок понижается заменой $p = y'$, $y'' = p \frac{dp}{dy}$. $p \frac{dp}{dy} (2y+3) - 2p^2 = 0$. Разделим на $p$ (случай $p=0$ дает $y=const$): $\frac{dp}{p} = \frac{2}{2y+3} dy$. Интегрируем: $\ln|p| = \ln|2y+3| + C_1 \Rightarrow p = C_1(2y+3)$. $y' = C_1(2y+3) \Rightarrow \frac{dy}{2y+3} = C_1 dx$. $\frac{1}{2} \ln|2y+3| = C_1 x + C_2 \Rightarrow \ln|2y+3| = 2C_1 x + 2C_2$. $2y+3 = C_3 e^{C_4 x} \Rightarrow y = C_3 e^{C_4 x} - 1,5$.