1. Вычислить интегралы: а) интеграл от 1 до 4 (1/(x^2+6x+8))dx; б) интеграл (sin^4 x)dx.

Привет! Давай разберем эти задачи по высшей математике. ### 1. Вычислить интегралы: а) $\int_{1}^{4} \frac{dx}{x^2+6x+8}$ Разложим знаменатель на множители: $x^2+6x+8 = (x+2)(x+4)$. Применим метод разложения на простейшие дроби: $\frac{1}{(x+2)(x+4)} = \frac{A}{x+2} + \frac{B}{x+4}$ $1 = A(x+4) + B(x+2)$. При $x=-2 \Rightarrow 1=2A \Rightarrow A=0.5$. При $x=-4 \Rightarrow 1=-2B \Rightarrow B=-0.5$. Интеграл: $\frac{1}{2} \int_{1}^{4} (\frac{1}{x+2} - \frac{1}{x+4}) dx = \frac{1}{2} [\ln|x+2| - \ln|x+4|]_{1}^{4} = \frac{1}{2} [\ln|\frac{x+2}{x+4}|]_{1}^{4} = \frac{1}{2} (\ln(\frac{6}{8}) - \ln(\frac{3}{5})) = \frac{1}{2} \ln(\frac{6/8}{3/5}) = \frac{1}{2} \ln(\frac{6}{8} \cdot \frac{5}{3}) = \frac{1}{2} \ln(\frac{5}{4}) = \frac{1}{2}(\ln 5 - \ln 4)$. б) $\int \sin^4 x dx$ Используем формулу понижения степени: $\sin^2 x = \frac{1-\cos 2x}{2}$. $\int (\frac{1-\cos 2x}{2})^2 dx = \frac{1}{4} \int (1 - 2\cos 2x + \cos^2 2x) dx = \frac{1}{4} \int (1 - 2\cos 2x + \frac{1+\cos 4x}{2}) dx = \frac{1}{4} \int (1 - 2\cos 2x + 0.5 + 0.5\cos 4x) dx = \frac{1}{4} \int (1.5 - 2\cos 2x + 0.5\cos 4x) dx = \frac{1}{4} (1.5x - \sin 2x + \frac{0.5}{4} \sin 4x) + C = \frac{3}{8}x - \frac{1}{4}\sin 2x + \frac{1}{32}\sin 4x + C$. ### 2. Найти объем тела Уравнение гиперболы: $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1 \Rightarrow y^2 = b^2(\frac{x^2}{a^2}-1) = \frac{b^2}{a^2}(x^2 - a^2)$. Объем $V = \pi \int_{x_1}^{x_2} y^2 dx$. По условию границы $x = \pm 2a$, то есть от $-2a$ до $2a$. $V = \pi \int_{-2a}^{2a} \frac{b^2}{a^2}(x^2 - a^2) dx = 2\pi \frac{b^2}{a^2} \int_{0}^{2a} (x^2 - a^2) dx = 2\pi \frac{b^2}{a^2} [\frac{x^3}{3} - a^2x]_0^{2a} = 2\pi \frac{b^2}{a^2} (\frac{8a^3}{3} - 2a^3) = 2\pi \frac{b^2}{a^2} (\frac{2a^3}{3}) = \frac{4}{3} \pi ab^2$. ### 3. Найти частное решение $(x^2 - 3y^2)dx + 2xy dy = 0$. Это однородное уравнение. Пусть $y = ux, dy = udx + xdu$. $(x^2 - 3u^2x^2)dx + 2x(ux)(udx + xdu) = 0$. $x^2(1 - 3u^2)dx + 2x^2u(udx + xdu) = 0$. $(1 - 3u^2)dx + 2u^2dx + 2ux du = 0$. $(1 - u^2)dx + 2ux du = 0$. Разделяем переменные: $\frac{dx}{x} = -\frac{2u du}{1-u^2} = \frac{d(1-u^2)}{1-u^2}$. $\ln|x| = \ln|1-u^2| + C \Rightarrow x = C(1-u^2) = C(1 - \frac{y^2}{x^2}) = C \frac{x^2-y^2}{x^2}$. $x^3 = C(x^2 - y^2)$. Подставим $y(2)=1$: $2^3 = C(2^2 - 1^2) \Rightarrow 8 = 3C \Rightarrow C = 8/3$. Решение: $x^3 = \frac{8}{3}(x^2 - y^2) \Rightarrow 3x^3 = 8x^2 - 8y^2 \Rightarrow 8y^2 = 8x^2 - 3x^3$. $y^2 = x^2 - \frac{3}{8}x^3$. ### 4. Найти общее решение $4y'' - 8y' + 5y = 0$. Характеристическое уравнение: $4k^2 - 8k + 5 = 0$. $D = 64 - 4 \cdot 4 \cdot 5 = 64 - 80 = -16$. $k = \frac{8 \pm \sqrt{-16}}{8} = \frac{8 \pm 4i}{8} = 1 \pm 0.5i$. Корни вида $\alpha \pm \beta i$, где $\alpha = 1, \beta = 0.5$. Общее решение: $y = e^{\alpha x}(C_1 \cos \beta x + C_2 \sin \beta x) = e^x(C_1 \cos 0.5x + C_2 \sin 0.5x)$.