В1. Найдите значение выражения: 3^6 * 5^7 : 15^5.

Привет! Давай решим задания из твоей экзаменационной работы по математике. Пойдем по порядку. ### Часть 1 **В1. Найдите значение выражения: $3^6 \cdot 5^7 : 15^5$.** $3^6 \cdot 5^7 : (3 \cdot 5)^5 = 3^6 \cdot 5^7 : (3^5 \cdot 5^5) = \frac{3^6 \cdot 5^7}{3^5 \cdot 5^5} = 3^{(6-5)} \cdot 5^{(7-5)} = 3^1 \cdot 5^2 = 3 \cdot 25 = 75$. **Ответ: 75.** **В2. Найдите значение выражения: $\sqrt{113^2 - 112^2}$.** Используем формулу разности квадратов: $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$. $\sqrt{(113-112)(113+112)} = \sqrt{1 \cdot 225} = 15$. **Ответ: 15.** **В3. Найдите значение выражения: $\frac{1}{2} \cdot 7^{\log_7 34}$.** По основному логарифмическому тождеству $7^{\log_7 34} = 34$. $\frac{1}{2} \cdot 34 = 17$. **Ответ: 17.** **В4. Вероятность.** Всего билетов 20, вопросов по производной 7. Значит, вопросов без производной: $20 - 7 = 13$. Вероятность $P = \frac{13}{20} = 0,65$. **Ответ: 0,65.** **В5. Найдите значение производной $f(x) = \frac{x-10}{x}$ при $x = -3$.** $f(x) = 1 - \frac{10}{x}$. $f'(x) = 0 - 10 \cdot (-1 \cdot x^{-2}) = \frac{10}{x^2}$. $f'(-3) = \frac{10}{(-3)^2} = \frac{10}{9} \approx 1,11$. **Ответ: 10/9.** **В6. Найдите решение уравнения: $6^{2x+1} = 36$.** $6^{2x+1} = 6^2$. $2x + 1 = 2 \Rightarrow 2x = 1 \Rightarrow x = 0,5$. **Ответ: 0,5.** **В7. Найдите корень уравнения: $\log_2(3-x) = 3$.** $3 - x = 2^3 = 8$. $-x = 5 \Rightarrow x = -5$. **Ответ: -5.** **В8. Найдите значение выражения: $\frac{12 \sin 23^\circ \cos 23^\circ}{\sin 46^\circ}$.** Используем формулу синуса двойного угла $2 \sin \alpha \cos \alpha = \sin 2\alpha$. $6 \cdot (2 \sin 23^\circ \cos 23^\circ) = 6 \sin 46^\circ$. $\frac{6 \sin 46^\circ}{\sin 46^\circ} = 6$. **Ответ: 6.** **В9. Найдите абсциссу точки касания.** Прямая $y = 2x - 1$ параллельна касательной, значит, их угловые коэффициенты равны $k = 2$. Производная $y' = (x^2 - x - 2)' = 2x - 1$. Приравниваем: $2x - 1 = 2 \Rightarrow 2x = 3 \Rightarrow x = 1,5$. **Ответ: 1,5.** **В10. Объем цилиндра 60. Объем конуса?** $V_{цил} = S \cdot h = 60$. $V_{кон} = \frac{1}{3} S \cdot h = \frac{1}{3} \cdot 60 = 20$. **Ответ: 20.** **В11. Найдите значение выражения: $(3,2 - \frac{2}{5}) : 280 - 1$.** $(3,2 - 0,4) : 280 - 1 = 2,8 : 280 - 1 = 0,01 - 1 = -0,99$. **Ответ: -0,99.** **В12. В какой момент времени скорость будет равна 9?** $x(t) = 4t^2 - 3t + 2$. $v(t) = x'(t) = 8t - 3$. $8t - 3 = 9 \Rightarrow 8t = 12 \Rightarrow t = 1,5$. **Ответ: 1,5.** ### Часть 2 **С1. Решите уравнение: $5\cos^2 x - 12\cos x + 4 = 0$.** Пусть $t = \cos x, |t| \le 1$. $5t^2 - 12t + 4 = 0$. Дискриминант $D = 144 - 4 \cdot 5 \cdot 4 = 144 - 80 = 64$. $t_1 = \frac{12+8}{10} = 2$ (не подходит, $|t| \le 1$). $t_2 = \frac{12-8}{10} = 0,4$. $\cos x = 0,4 \Rightarrow x = \pm \arccos 0,4 + 2\pi n$. Для промежутка $[-\frac{5\pi}{2}; -\pi]$ решением будет $x = -\arccos 0,4 - 2\pi$. **С2. Решите неравенство: $\frac{x^2+2x+3}{\sqrt{1-x^2}} \ge 0$.** Знаменатель $\sqrt{1-x^2}$ всегда положителен при $x^2 < 1$ (т.е. $x \in (-1; 1)$). Числитель $x^2+2x+3$ имеет $D = 4 - 12 = -8 < 0$, значит, он всегда положителен. Следовательно, выражение всегда больше 0 при $x \in (-1; 1)$. **Ответ: (-1; 1).** **С3. Решите уравнение: $(3x^2 - x - 2) \cdot \sqrt{2x - 1} = 0$.** 1) $2x - 1 = 0 \Rightarrow x = 0,5$. 2) $3x^2 - x - 2 = 0$. $D = 1 - 4(3)(-2) = 1 + 24 = 25$. $x = \frac{1 \pm 5}{6}$. $x_1 = 1$, $x_2 = -2/3$ (не подходит по ОДЗ, так как под корнем будет отрицательное число). **Ответ: 0,5; 1.** **С4. Площадь фигуры.** $y = x^2 - 2$ и $y = 2x + 1$. Точки пересечения: $x^2 - 2 = 2x + 1 \Rightarrow x^2 - 2x - 3 = 0 \Rightarrow (x-3)(x+1) = 0$. $x_1 = -1, x_2 = 3$. $S = \int_{-1}^{3} (2x + 1 - (x^2 - 2)) dx = \int_{-1}^{3} (-x^2 + 2x + 3) dx = [-\frac{x^3}{3} + x^2 + 3x]_{-1}^{3} = (-9 + 9 + 9) - (1/3 + 1 - 3) = 9 - (-5/3) = 9 + 1,66... = 10\frac{2}{3}$. **Ответ: 10\frac{2}{3}.** **С5. Решите систему.** $\{x-y=8 \Rightarrow x = y+8$ $\{2x-3y=16$ $2(y+8) - 3y = 16 \Rightarrow 2y + 16 - 3y = 16 \Rightarrow -y = 0 \Rightarrow y = 0$. $x = 0 + 8 = 8$. **Ответ: (8; 0).** **С6. Диагональ призмы.** Пусть $H$ — высота призмы, $d_{осн}$ — диагональ основания. Угол наклона диагонали призмы $\alpha = 30^\circ$. $\sin 30^\circ = H / d_{призмы} = 0,5$. Поскольку боковое ребро равно 3 ($H=3$), то диагональ призмы $D = 3 / 0,5 = 6$. **Ответ: 6.**