Дан прямоугольный треугольник со сторонами 3 и 4см, в вершине острого угла восстановлен перпендикуляр к плоскости треугольника, длина которого 7см.

### Решение задачи 1 Пусть дан треугольник $ABC$, где $\angle C = 90^\circ$. Катеты $AC = 3$ см, $BC = 4$ см. Тогда гипотенуза $AB = \sqrt{AC^2 + BC^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5$ см. Пусть перпендикуляр $SM = 7$ см восстановлен в вершине $A$. Расстояния от $S$ до вершин треугольника: 1. До вершины $A$: $SA = 7$ см. 2. До вершины $C$: $SC = \sqrt{AC^2 + SA^2} = \sqrt{3^2 + 7^2} = \sqrt{9 + 49} = \sqrt{58} \approx 7,62$ см. 3. До вершины $B$: $SB = \sqrt{AB^2 + SA^2} = \sqrt{5^2 + 7^2} = \sqrt{25 + 49} = \sqrt{74} \approx 8,6$ см. **Ответ:** 7 см, $\sqrt{58}$ см, $\sqrt{74}$ см. ### Решение задачи 2 Прямая $AB$ пересекает плоскость $\alpha$ в точке $O$. Пусть $AA_1 = 4$ см — расстояние от $A$ до плоскости, $BB_1$ — искомое расстояние от $B$ до плоскости. Треугольники $\triangle AA_1O$ и $\triangle BB_1O$ подобны по двум углам (прямой угол и общий угол при вершине $O$). По условию $OA = 8$ см, $AB = 6$ см. Так как точка $B$ лежит на отрезке $OA$ (поскольку $AB < OA$), то $OB = OA - AB = 8 - 6 = 2$ см. Запишем отношение сторон подобных треугольников: $\frac{BB_1}{AA_1} = \frac{OB}{OA}$ Подставим значения: $\frac{BB_1}{4} = \frac{2}{8}$ $\frac{BB_1}{4} = 0,25$ $BB_1 = 1$ см. **Ответ:** 1 см.