1. Вычислите 10^1/4 * 40^1/4 * 5^1/2. (1 балл)

Привет! Давай разберем твою контрольную работу по математике. ### 1. Вычисление выражения $10^{\frac{1}{4}} \cdot 40^{\frac{1}{4}} \cdot 5^{\frac{1}{2}} = (10 \cdot 40)^{\frac{1}{4}} \cdot \sqrt{5} = 400^{\frac{1}{4}} \cdot \sqrt{5} = (20^2)^{\frac{1}{4}} \cdot \sqrt{5} = 20^{\frac{1}{2}} \cdot \sqrt{5} = \sqrt{20} \cdot \sqrt{5} = \sqrt{100} = 10$. **Ответ: 10.** ### 2. Уравнение $3^{x+2} + 3^x = 810$ $3^x \cdot 3^2 + 3^x = 810$ $3^x \cdot 9 + 3^x = 810$ $3^x \cdot (9 + 1) = 810$ $3^x \cdot 10 = 810$ $3^x = 81$ $3^x = 3^4$, откуда $x = 4$. **Ответ: 4.** ### 3. Неравенство $\frac{1}{2}\lg 81 - \lg x > \lg 2$ $ \begin{aligned} &\lg(81^{\frac{1}{2}}) - \lg x > \lg 2 \implies \lg 9 - \lg x > \lg 2 \\ &\lg \frac{9}{x} > \lg 2 \implies \frac{9}{x} > 2 \end{aligned} $ С учетом ОДЗ ($x > 0$): $9 > 2x \implies x < 4,5$. С учетом ОДЗ: $0 < x < 4,5$. **Ответ: $x \in (0; 4,5)$.** ### 4. Уравнение $\cos(x - \frac{\pi}{2}) = 2 \sin x + 1$ Используем формулу приведения $\cos(x - \frac{\pi}{2}) = \sin x$: $ \sin x = 2 \sin x + 1 \implies -\sin x = 1 \implies \sin x = -1 \implies x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}. $ **Ответ: $x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.** ### 5. Промежутки убывания функции $y = x^3 + 3x^2 - 5x$ (исправлено с учетом опечатки в условии) $y' = 3x^2 + 6x - 5$. Убывание при $y' < 0$: $3x^2 + 6x - 5 = 0$. $D = 36 - 4 \cdot 3 \cdot (-5) = 36 + 60 = 96$. $x_{1,2} = \frac{-6 \pm 4\sqrt{6}}{6} = -1 \pm \frac{2\sqrt{6}}{3}$. Интервал: $(-1 - \frac{2\sqrt{6}}{3}; -1 + \frac{2\sqrt{6}}{3})$. ### 6. Первообразная функции $f(x) = 7x^6 - 4x^3 + 5$ $F(x) = x^7 - x^4 + 5x + C$. Подставим точку $(-1; -10)$: $-10 = (-1)^7 - (-1)^4 + 5(-1) + C \implies -10 = -1 - 1 - 5 + C \implies -10 = -7 + C \implies C = -3$. $F(x) = x^7 - x^4 + 5x - 3$. **Ответ: $F(x) = x^7 - x^4 + 5x - 3$.** ### 7. Найдите $\text{tg } x$, если $\cos x = -\frac{5}{\sqrt{34}}$ и $x \in (\pi; 1,5\pi)$ В III четверти тангенс положителен. $\sin^2 x = 1 - \cos^2 x = 1 - \frac{25}{34} = \frac{9}{34}$. $\sin x = -\frac{3}{\sqrt{34}}$ (так как III четверть). $\text{tg } x = \frac{\sin x}{\cos x} = \frac{-3/\sqrt{34}}{-5/\sqrt{34}} = \frac{3}{5} = 0,6$. **Ответ: 0,6.** ### 8. Высота правильной треугольной пирамиды Площадь основания $S = \frac{a^2\sqrt{3}}{4} = \frac{36\sqrt{3}}{4} = 9\sqrt{3}$. Объем $V = \frac{1}{3} S H \implies 3\sqrt{3} = \frac{1}{3} \cdot 9\sqrt{3} \cdot H \implies 3\sqrt{3} = 3\sqrt{3} \cdot H \implies H = 1$. **Ответ: 1.** ### 9. Площадь фигуры Найдем точки пересечения: $x + 4 = 2x + 4 - x^2 \implies x^2 - x = 0 \implies x(x-1) = 0$. $x=0, x=1$. $S = \int_{0}^{1} (2x + 4 - x^2 - (x+4)) dx = \int_{0}^{1} (x - x^2) dx = [\frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3}]_{0}^{1} = \frac{1}{2} - \frac{1}{3} = \frac{1}{6}$. **Ответ: 1/6.** ### 10. Уравнение $\sqrt{x+6} - \sqrt{x+1} = \sqrt{2x-5}$ Возведем в квадрат: $(x+6) - 2\sqrt{(x+6)(x+1)} + (x+1) = 2x - 5$ $2x + 7 - 2\sqrt{x^2+7x+6} = 2x - 5$ $12 = 2\sqrt{x^2+7x+6} \implies 6 = \sqrt{x^2+7x+6}$ $36 = x^2 + 7x + 6 \implies x^2 + 7x - 30 = 0$. Корни: $x_1 = 3, x_2 = -10$. Проверка: $x=3: \sqrt{9} - \sqrt{4} = 3-2=1; \sqrt{6-5} = 1$. Верно. $x=-10$: под корнем отрицательное число. Не подходит. **Ответ: 3.**