Вычислите значение выражения $\frac{\sqrt[4]{5} \cdot \sqrt[4]{25}}{\sqrt[4]{2000}}$

1. $\frac{\sqrt[4]{5} \cdot \sqrt[4]{25}}{\sqrt[4]{2000}} = \sqrt[4]{\frac{5 \cdot 25}{2000}} = \sqrt[4]{\frac{125}{2000}} = \sqrt[4]{\frac{1}{16}} = \frac{1}{2} = 0,5$. 2. $5^{x+2,5} = 5^1 \cdot 5^{0,5} = 5^{1,5}$. $x + 2,5 = 1,5 \implies x = -1$. 3. $\frac{(x-3)^2}{(x+4)x^3} \ge 0$. Метод интервалов. Корни: $x=3$ (кратность 2, знак не меняется), $x=-4$, $x=0$. Точки: $-4$ (выколотая), $0$ (выколотая), $3$ (закрашенная). Знаки на интервалах: $(-\infty; -4) (+), (-4; 0) (-), (0; 3) (+), (3; \infty) (+)$. Ответ: $x \in (-\infty; -4) \cup (0; 3] \cup [3; \infty) \implies x \in (-\infty; -4) \cup (0; \infty)$. 4. $x-1 = \sqrt[3]{x^2-x-1}$. Возведем в куб: $(x-1)^3 = x^2-x-1$. $x^3 - 3x^2 + 3x - 1 = x^2 - x - 1 \implies x^3 - 4x^2 + 4x = 0$. $x(x^2 - 4x + 4) = 0 \implies x(x-2)^2 = 0$. Корни: $x=0, x=2$. Проверка: $x=0: -1 \neq \sqrt[3]{-1}=-1$ (верно). $x=2: 1 = \sqrt[3]{4-2-1} = 1$ (верно). Ответ: $x=0, x=2$. 5. $14x-7 > 0 \implies 14x > 7 \implies x > 0,5$. Ответ: $(0,5; \infty)$. 6. $\sin(\frac{3\pi}{2} + x) + \cos(\pi + x) = 0 \implies -\cos x - \cos x = 0 \implies -2\cos x = 0 \implies \cos x = 0$. Ответ: $x = \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$. 7. $y' = 12 - 3x^2$. $12 - 3x^2 = 0 \implies x^2 = 4 \implies x = \pm 2$. $y'' = -6x$. При $x = -2$: $y'' = 12 > 0$ (минимум). При $x = 2$: $y'' = -12 < 0$ (максимум). Ответ: $x = -2$. 8. $v(t) = s'(t) = 12t^2 + 10t - 1$. $v(2) = 12(2^2) + 10(2) - 1 = 48 + 20 - 1 = 67$ м/с. 9. Диагонали ромба $d_1=8$. Сторона $a=5$. Половина диагонали $d_1/2 = 4$. Вторая половина диагонали $d_2/2 = \sqrt{5^2 - 4^2} = 3 \implies d_2 = 6$. Вершина проецируется в центр основания (пересечение диагоналей). Расстояние от центра до стороны (апофема основания) $h_{base} = \frac{4 \cdot 3}{\sqrt{4^2 + 3^2}} = 2,4$. Боковое ребро $L = \sqrt{7^2 + 4^2} = \sqrt{65}$ (к вершине) или $\sqrt{7^2 + 3^2} = \sqrt{58}$ (к боковой вершине). Ответ: боковые ребра равны $\sqrt{65}$ см и $\sqrt{58}$ см. 10. Равносторонний конус (осевое сечение — равносторонний треугольник). Образующая $l=4$, значит диаметр $d=4$, радиус $r=2$. Высота $h = \sqrt{4^2 - 2^2} = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}$. $S_{полн} = \pi r (l + r) = \pi \cdot 2 (4+2) = 12\pi$. $S_{сеч} = \frac{1}{2} \cdot d \cdot h = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 2\sqrt{3} = 4\sqrt{3}$. Ответ: $12\pi$ и $4\sqrt{3}$.