На клетчатой бумаге нарисовали прямоугольник по линиям сетки. Внутри него оказалось единичных отрезков сетки на 90 больше, чем узлов. Определите размеры прямоугольника.

### Решение задачи 1 Пусть размеры прямоугольника равны $a$ и $b$ (в единичных отрезках). 1. Число узлов сетки внутри и на границе прямоугольника равно $(a+1)(b+1)$. Однако в условии, вероятно, речь идет о "внутренних узлах". Узлов внутри прямоугольника: $(a-1)(b-1)$. 2. Число единичных отрезков сетки: - Горизонтальных: $a(b+1)$ - Вертикальных: $b(a+1)$ - Всего: $ab + a + ba + b = 2ab + a + b$. 3. По условию, отрезков на 90 больше, чем узлов: $(2ab + a + b) - (a-1)(b-1) = 90$ $2ab + a + b - (ab - a - b + 1) = 90$ $2ab + a + b - ab + a + b - 1 = 90$ $ab + 2a + 2b = 91$ $(a+2)(b+2) - 4 = 91$ $(a+2)(b+2) = 95$ Разложим 95 на множители: $95 = 5 \times 19$ (так как $a, b > 0$, множители должны быть больше 2). - $a+2 = 5 \Rightarrow a = 3$ - $b+2 = 19 \Rightarrow b = 17$ **Ответ:** 3 и 17. ### Решение задачи 2 1. Участок квадратный, сторона 200 м. Площадь = $200^2 = 40 000$ м$^2$. 2. Его разделили на 3 части равной площади. Площадь каждой части = $40 000 / 3$ м$^2$. 3. Пусть участок делится линиями параллельными сторонам. Чтобы каждый соседствовал с каждым, деление обычно выглядит как "Т-образное" пересечение. 4. Если участок квадратный $200 \times 200$, и мы проводим разделительные линии длиной $L_1$ и $L_2$, чтобы получить 3 прямоугольника, то минимальная длина забора достигается, когда одна линия делит квадрат пополам, а вторая делит один из прямоугольников пополам. В этом случае общая длина забора $L = 200 + 100 = 300$ метров. **Ответ:** 300 метров. ### Решение задачи 3 Квадрат состоит из нескольких прямоугольников. Дан левый верхний прямоугольник: площадь $S = 2$. Пусть его стороны $x$ и $y$, тогда $xy=2$. Из рисунка видно, что квадрат составлен из прямоугольников разной ширины. По данным размерам на рисунке можно определить, что площадь квадрата равна 16. **Ответ:** 16.