5. Исследовать на экстремум функцию z = 3x^3 + y^3 - x - 3y^2 - 1.

Для исследования функции $z = 3x^3 + y^3 - x - 3y^2 - 1$ на экстремум выполним следующие шаги: 1. Найдем частные производные первого порядка: $z'_x = \frac{\partial z}{\partial x} = 9x^2 - 1$ $z'_y = \frac{\partial z}{\partial y} = 3y^2 - 6y$ 2. Найдем критические точки, приравняв частные производные к нулю: $\begin{cases} 9x^2 - 1 = 0 \\ 3y^2 - 6y = 0 \end{cases}$ Из первого уравнения: $x^2 = \frac{1}{9} \Rightarrow x = \pm \frac{1}{3}$. Из второго уравнения: $3y(y - 2) = 0 \Rightarrow y_1 = 0, y_2 = 2$. Получаем четыре критические точки: $M_1(\frac{1}{3}; 0), M_2(-\frac{1}{3}; 0), M_3(\frac{1}{3}; 2), M_4(-\frac{1}{3}; 2)$. 3. Найдем частные производные второго порядка: $z''_{xx} = 18x$ $z''_{yy} = 6y - 6$ $z''_{xy} = 0$ Вычислим определитель матрицы Гессе $\Delta = z''_{xx} \cdot z''_{yy} - (z''_{xy})^2 = 18x(6y - 6) - 0 = 108x(y - 1)$. 4. Исследуем точки: * $M_1(\frac{1}{3}; 0)$: $\Delta = 108 \cdot \frac{1}{3} \cdot (-1) = -36 < 0$. Экстремума нет (седловая точка). * $M_2(-\frac{1}{3}; 0)$: $\Delta = 108 \cdot (-\frac{1}{3}) \cdot (-1) = 36 > 0$. $z''_{xx} = 18 \cdot (-\frac{1}{3}) = -6 < 0$. Локальный максимум. $z_{max} = 3(-\frac{1}{27}) + 0 - (-\frac{1}{3}) - 0 - 1 = -\frac{1}{9} + \frac{3}{9} - \frac{9}{9} = -\frac{7}{9}$. * $M_3(\frac{1}{3}; 2)$: $\Delta = 108 \cdot \frac{1}{3} \cdot (2 - 1) = 36 > 0$. $z''_{xx} = 18 \cdot \frac{1}{3} = 6 > 0$. Локальный минимум. $z_{min} = 3(\frac{1}{27}) + 8 - \frac{1}{3} - 3(4) - 1 = \frac{1}{9} - \frac{3}{9} - 5 = -\frac{2}{9} - 5 = -5\frac{2}{9}$. * $M_4(-\frac{1}{3}; 2)$: $\Delta = 108 \cdot (-\frac{1}{3}) \cdot (1) = -36 < 0$. Экстремума нет (седловая точка). **Ответ:** Точка $(-\frac{1}{3}; 0)$ — локальный максимум, $z_{max} = -\frac{7}{9}$. Точка $(\frac{1}{3}; 2)$ — локальный минимум, $z_{min} = -5\frac{2}{9}$.