Задание 1. Построить графики функций. а) y = cos2x в) y = cosx - 1 б) y = tg x/2 г) y = |sinx|

Привет! Давай разберем твои задания по тригонометрии. ### Задание 1 Чтобы построить графики, выберем ключевые точки для каждого: **а) $y = \cos(2x)$** Период $T = \pi$. Ключевые точки: $(0; 1), (\pi/4; 0), (\pi/2; -1), (3\pi/4; 0), (\pi; 1)$. :::div .chart-container @chart-1::: **б) $y = \tan(x/2)$** Период $T = 2\pi$. Асимптоты при $x = \pi, x = -\pi$. Проходит через $(0; 0), (\pi/2; 1), (-\pi/2; -1)$. :::div .chart-container @chart-2::: **в) $y = \cos(x) - 1$** Сдвиг графика $y = \cos(x)$ вниз на 1 единицу. Точки: $(0; 0), (\pi/2; -1), (\pi; -2), (3\pi/2; -1), (2\pi; 0)$. :::div .chart-container @chart-3::: **г) $y = |\sin(x)|$** Все отрицательные значения синуса становятся положительными. Точки: $(0; 0), (\pi/2; 1), (\pi; 0), (3\pi/2; 1), (2\pi; 0)$. :::div .chart-container @chart-4::: ### Задание 2 Уравнение $\sin x = \frac{\sqrt{2}}{2}$ на отрезке $[0; 3\pi]$. Корни синуса равны $\frac{\sqrt{2}}{2}$ в точках $x = \frac{\pi}{4} + 2\pi k$ и $x = \frac{3\pi}{4} + 2\pi k$. 1. При $k=0$: $x_1 = \frac{\pi}{4}$, $x_2 = \frac{3\pi}{4}$. 2. При $k=1$: $x_3 = \frac{\pi}{4} + 2\pi = \frac{9\pi}{4}$. Значение $\frac{3\pi}{4} + 2\pi = \frac{11\pi}{4} > 3\pi$, поэтому не подходит. **Ответ:** $\frac{\pi}{4}; \frac{3\pi}{4}; \frac{9\pi}{4}$. ### Задание 3 Неравенство $\sin x > \frac{\sqrt{2}}{2}$ на $[0; 3\pi]$. Смотрим промежутки выше уровня $\frac{\sqrt{2}}{2}$ на окружности: 1. $(\frac{\pi}{4}; \frac{3\pi}{4})$ 2. $(\frac{\pi}{4} + 2\pi; \frac{3\pi}{4} + 2\pi) = (\frac{9\pi}{4}; \frac{11\pi}{4})$ **Ответ:** $x \in (\frac{\pi}{4}; \frac{3\pi}{4}) \cup (\frac{9\pi}{4}; \frac{11\pi}{4})$. ### Задание 4 Доказать: $(\cot x + 1)^2 + (\cot x - 1)^2 = \frac{2}{\sin^2 x}$ Раскроем скобки: $(\cot^2 x + 2\cot x + 1) + (\cot^2 x - 2\cot x + 1) = 2\cot^2 x + 2 = 2(\cot^2 x + 1)$ Так как $\cot^2 x + 1 = \frac{1}{\sin^2 x}$, получаем: $2(\frac{1}{\sin^2 x}) = \frac{2}{\sin^2 x}$ Что и требовалось доказать.