Задания для проведения аттестации студентов ПОО в письменной форме по учебной дисциплине: «Математика» в 2025–26 учебном году

1. Используем свойства логарифмов: $\log_6 18 - \log_6 3 + 2 = \log_6(18/3) + 2 = \log_6 6 + 2 = 1 + 2 = 3$. **Ответ: 3** 2. Сначала найдем $\sin^2 \alpha = 1 - \cos^2 \alpha = 1 - 1/8 = 7/8$. Теперь подставим: $5(7/8) - 3(1/8) = 35/8 - 3/8 = 32/8 = 4$. **Ответ: 4** 3. Область допустимых значений (ОДЗ): $2+x > 0 \Rightarrow x > -2$. Решаем: $2+x \le 3^1 \Rightarrow 2+x \le 3 \Rightarrow x \le 1$. Учитывая ОДЗ, получаем: $x \in (-2; 1]$. **Ответ: $(-2; 1]$** 4. Преобразуем: $4 \cdot 4^x + 4^x = 320 \Rightarrow 5 \cdot 4^x = 320 \Rightarrow 4^x = 64$. Так как $64 = 4^3$, то $x=3$. **Ответ: 3** 5. Подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $1 - 4^{2x+3} \ge 0 \Rightarrow 4^{2x+3} \le 1$. Так как $1 = 4^0$, то $2x+3 \le 0 \Rightarrow 2x \le -3 \Rightarrow x \le -1,5$. **Ответ: $(-\infty; -1,5]$** 6. Возведем в квадрат: $x+1 = (x-5)^2 \Rightarrow x+1 = x^2 - 10x + 25 \Rightarrow x^2 - 11x + 24 = 0$. Корни: $x_1=3, x_2=8$. Проверка: при $x=3$ имеем $3-5 = -2$ (неверно), при $x=8$ имеем $8-5 = 3$ (верно). **Ответ: 8** 7. Производная функции $f'(x) = \frac{1}{2x+1} \cdot 2 = \frac{2}{2x+1}$. При $x=-1$ значение $f'(-1) = 2/(2(-1)+1) = -2$. *Замечание: точка $x=-1$ не входит в область определения функции $\ln(2x+1)$, так как аргумент логарифма должен быть больше нуля ($2x+1>0$).* **Ответ: -2 (формально)** 8. Найдем пересечения с осью $Ox$: $2+x-x^2 = 0 \Rightarrow x^2-x-2=0$. Корни $x=-1$ и $x=2$. Интеграл: $\int_{-1}^2 (2+x-x^2) dx = [2x + \frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3}]_{-1}^2 = (4+2-8/3) - (-2+1/2+1/3) = 10/3 - (-7/6) = 20/6 + 7/6 = 27/6 = 4,5$. **Ответ: 4,5** 9. Средняя линия параллельная гипотенузе равна 3, значит, гипотенуза $c = 3 \cdot 2 = 6$. В прямоугольном равнобедренном треугольнике $c = a\sqrt{2} \Rightarrow a^2 = c^2/2 = 36/2 = 18$. Площадь $S = 0,5 \cdot a^2 = 0,5 \cdot 18 = 9$. **Ответ: 9** 10. Площадь основания $S_{осн} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4} = \frac{2^2\sqrt{3}}{4} = \sqrt{3}$. Объем пирамиды $V = \frac{1}{3} \cdot S_{осн} \cdot H = \frac{1}{3} \cdot \sqrt{3} \cdot \sqrt{3} = \frac{1}{3} \cdot 3 = 1$. **Ответ: 1**